Πέμπτη, 18 Σεπτεμβρίου 2008

Conjeturas







No hay certidumbre allí donde no es posible aplicar ninguna de las ciencias matemáticas ni ninguna de las basadas en las matemáticas.

Leonardo da Vinci



El 7 de junio de 1742, Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque él no lograba encontrarla:



Todo número par positivo, mayor que dos,
se puede escribir como la suma de dos números primos.




Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por uno. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. Seis no es primo porque es divisible por 2 y por 3, mientras que 15 no lo es porque es divisible por 3 y por 5. Además, el número uno no es considerado primo.





Si un matemático cree que una afirmación es cierta, pero esa veracidad no la puede probar, tiene la opción de presentarla como una conjetura.
Para la matemática, la expresión conjetura refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no fue probada ni refutada hasta la fecha.

La más famosa conjetura es la planteada por un matemático alemán que trabajaba en Rusia, Christian Goldbach (1690-1764). Para explicarla, volvamos a decir que un número primo es cualquiera mayor que 1 y sólo divisible por sí mismo y por 1. Existen infinitos números primos. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.

A Goldbach le parecía que cualquier número par mayor que 2 podía expresarse como la suma de dos primos (a veces de más de una manera). Así,

4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3; 10 = 5+5; 12 = 7+5; 14 = 7+7; 16 = 11+5;

18 = 13+5; 20 = 13+7; 22 = 11+ 11; 24 = 13+11; 26 = 13+13; 28 23+5;

30 = 23+7; 32 = 19+13; 34 = 17+17; 36 = 23+13; 38 = 19+19;

40 = 23+17; 42 = 23+19;

etcétera.





Ningún matemático ha hallado jamás número par alguno mayor que 2, que no pudiera expresarse mediante la suma de dos números primos. Los matemáticos están convencidos de que no existe tal número, y que la conjetura de Goldbach es cierta. Sin embargo, nadie ha sido capaz de probarla hasta la fecha.
Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión respetada de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach debe ser cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca alguien que logre demostrarlo.


(Del lat. coniectūra).

1. f. Juicio que se forma de las cosas o acaecimientos por indicios y observaciones.

2. f. Ecd. Lección no atestiguada en la tradición textual y que la edición crítica reconstruye de acuerdo con otros indicios.




Fuentes: Matemática Estás Ahí? de Adrián Paenza, DRAE
Photos: G. M.




Σάββατο, 6 Σεπτεμβρίου 2008

Verdades indemostrables







Sin cierta dosis de locura,
nadie puede creer firmemente estar en posesión de la verdad,
puesto que creer en la verdad
es precisamente locura.

Nietzsche


Kurt Gödel fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-americano, reconocido como uno de los más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un inmenso impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. Se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas dice que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.





En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletitud en "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). En dicho artículo postuló que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo los axiomas de Peano), se deduce que:

1-Si el sistema es consistente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de incompletitud.)

2-La consistencia de los axiomas no puede demostrarse desde el interior del sistema.

Estos teoremas finalizaron con medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática.






La idea básica del teorema de la incompletitud es más bien simple. Esencialmente Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula la cual se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.

Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración, al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal. También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.

Nació el 28 de abril de 1906 en Brno, Austria-Hungría (ahora República Checa) y murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, New Jersey.





verdad.

(Del lat. verĭtas, -ātis).

1. Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas forma la mente.

2. Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa.

3. Propiedad que tiene una cosa de mantenerse siempre la misma sin mutación alguna.

4. Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente.


axioma.

(Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα).

1. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.

2. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.


teorema.

(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).

1. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.



Fuente: Wikipedia, DRAE
Imágenes: G. M.