Κυριακή, 25 Νοεμβρίου 2007

música fractal





Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.






La música fractal intenta establecer los potenciales usos de la recursión, la iteración y la matemática compleja como una extensión de la composición musical. Los fractales proveen una inesperada conexión entre las artes musicales y muchos procesos naturales, ya que unen cualidades determinísticas y estocásticas para producir naturalmente un agradable y no-estético balance entre predecibilidad y novedad. La estructura del fractal autosemejante es análoga a la repetición y desarrollo de motivos musicales usados para crear unidad y coherencia en la música.

Cada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría fractal como apoyo en sus composiciones. Es posible crear estructuras fractales en un ordenador por medio de algoritmos matemáticos, y luego aplicarlos a la composición musical.



Se han descubierto estructuras fractaliformes en la música de varios compositores, entre ellos Bach, Mozart, Beethoven.

La coral situada al final de " El Arte de la Fuga" (1749) de Johann Sebastian Bach es un ejemplo de pieza autosemejante. En ella los mismos motivos son repetidos una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal (un motivo se repite por disminución a escalas menores).





Hay varios trabajos que analizan la manifestación de estructuras fractaliformes en composiciones clásicas: por ejemplo, en algunos se estudia la analogía entre la estructura del conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven, así como entre el triángulo de Sierpinski y el tercer movimiento de la sonata para piano número 15, opus 28, también de Beethoven.




La geometría fractal y la teoría del caos han obligado a muchos científicos a observar con otros ojos la complejidad del mundo. Algunos músicos han aplicado esta nueva visión a sus composiciones para producir piezas que desencadenan en los oyentes reacciones de muy diversa índole: desde la fascinación a la incomprensión. La música fractal se mueve en la frontera entre la monotonía y la sorpresa, entre la aleatoriedad y la predicibilidad. Es una manifestación musical que cuenta con poco más de una década de vida.

Para ver y escuchar mas acerca de este tema, les recomiendo visitar: fRAKTÆPHONIA

Photos: G. M. & Photoshop



Δευτέρα, 19 Νοεμβρίου 2007

El hotel infinito





Hotel Infinito es una metáfora inventada por el matemático alemán David Hilbert, para explicar las paradojas relacionadas con el infinito descubiertas por el también matemático Georg Cantor, de una manera sencilla.

Esta metáfora describe por medio de un hotel de habitaciones infinitas, cuatro paradojas de las encontradas por Georg Cantor. Numerosas personas han creado historias completas sobre la metáfora de David Hilbert.





El hotel más grande del mundo

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría.

"—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.

—Y qué tal si alguien construyera uno con..."

Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.



Infinito más uno

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación, el hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación....



Dos infinitos

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes con el corazón en la mano, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Infinito número de infinitos



Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una. "¡Qué enorme problema se presenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?

El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo o alguna potencia de éstos, les pidió que elevaran el número 2 al número de la habitación (n) en la que se encontraban (2n) y se cambiaran a esa habitación.

Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (mayor de 2), a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar, de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión (t) lo que da pt.

Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.

Biografía de G. Cantor
Fuente: Wikipedia
Photos: G. M.



Τετάρτη, 14 Νοεμβρίου 2007

de números











Históricamente, la matemática surge con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los
números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos de resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
El estudio del espacio origina la
geometría, primero la geometría euclidiana y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las
Ciencias Naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa del cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian en las ecuaciones diferenciales.
Los números que usaron para representar las cantidades continuas son los
números reales, y el estudio detallado de sus propiedades se denomina análisis. Por razones matemáticas, es conveniente introducir los números del complejo que se estudian en el análisis complejo.
El concepto central que se usa para describir una variable cambiante es que de una
función, y su estudio, se denomina análisis funcional. Un campo importante en matemática aplicada es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.


Fuente: Wikipedia
Photos: G. M.

Τετάρτη, 7 Νοεμβρίου 2007

cielo e infierno




Recuerdo nueve mundos


Edda islandés
de Sturluson, 1200





Me he convertido en muerte, en el destructor de los mundos

Bhagavad Gita





Las puertas del cielo y del infierno son adyacentes e idénticas

N. Kazantzakis, La última tentación de Cristo

Photos: G. M.