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Κυριακή 16 Δεκεμβρίου 2007

Conjunto Mandelbrot



Photo: G. M.

MANDELBROT, EL CIENTÍFICO, no puede conciliar el sueño. Se dice convencido: las nubes no son esferas, las montañas no son capirotes, los litorales no son circulares y los ladridos no son suaves. Luego lo escribe en un papel. Por lo tanto, concluye, la geometría fractal supera «en esencia y fondo» a la euclidiana. Con cuidado, destapa el cuerpo de su mujer, que duerme sin conciencia y a pierna suelta a su lado. Le sube el camisón y analiza con lupa y medidas exactas su «elemento íntimo». Es un plano complejo, repite. Y lo saborea con cuidado, procura que no despierte. Investiga con tacto y criterio, separa los pliegues y lo enfoca con la lámpara de la mesita de noche. Un número infinito de escalas, se dice. Y se asoma al abismo del gran enigma, intenta avanzar entre las fractales que se le representan. Cuando su mujer despierta, Mandelbrot ha desaparecido. Tan sólo sus instrumentos científicos a los pies de la cama. Y aunque ella se encuentra ciertamente pesada esa mañana, atribuye su hinchazón al frío y la humedad de esa maldita ciudad.

Conjunto Mandelbrot es propiedad de © Iván Humanes Bespín 2007.





Una descripción del conjunto M


...la frontera del conjunto M es rizada, con infinitos detalles: puedes intruducirte en cualquiera de sus puntos y aumentarlo cuanto quieras, y siempre descubrirás algo nuevo e inesperado...¡Mire!



La imagen se amplió; se introdujeron por el ángulo formado entre el cardioide principal y su círculo tangente: Bradley se dijo que aquello era como ver abrirse una cremallera, salvo que los dientes de la cremallera tenían unas formas extraordinarias.

Al principio, parecían pequeños elefantes que agitaran minúsculas trompas. Luego, las trompas se convirtieron en tentáculos, a los tentáculos les salieron ojos y, mientras la imagen seguía dilatándose, los ojos se abrieron en negros remolinos de una profundidad infinita...



[...]

Pasaron a gran velocidad junto a los remolinos, sorteando misteriosas islas guardadas por arrecifes de coral. Flotillas de caballos marinos desfilaron en majestuosa procesión. En el centro de la pantalla apareció un punto que, a medida que iba creciendo, mostraba un aspecto extrañamente familiar...y segundos más tarde se revelaba como una replica del conjunto original.

Nota: para los despistados, diré que el conjunto M al que se refiere el texto es el conjunto de Mandelbrot.

Arthur C. Clarke, El espectro del Titanic, p.108 y ss.

Fuente: Epsilones, Bestiario





Debo agradecer a Ivan Humanes Bespín y a Sergi Bellver por su autorización a publicar el texto "Conjunto Mandelbrot", ganador del I Premio de Relato mínimo Diomedea.

Κυριακή 25 Νοεμβρίου 2007

música fractal





Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.






La música fractal intenta establecer los potenciales usos de la recursión, la iteración y la matemática compleja como una extensión de la composición musical. Los fractales proveen una inesperada conexión entre las artes musicales y muchos procesos naturales, ya que unen cualidades determinísticas y estocásticas para producir naturalmente un agradable y no-estético balance entre predecibilidad y novedad. La estructura del fractal autosemejante es análoga a la repetición y desarrollo de motivos musicales usados para crear unidad y coherencia en la música.

Cada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría fractal como apoyo en sus composiciones. Es posible crear estructuras fractales en un ordenador por medio de algoritmos matemáticos, y luego aplicarlos a la composición musical.



Se han descubierto estructuras fractaliformes en la música de varios compositores, entre ellos Bach, Mozart, Beethoven.

La coral situada al final de " El Arte de la Fuga" (1749) de Johann Sebastian Bach es un ejemplo de pieza autosemejante. En ella los mismos motivos son repetidos una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal (un motivo se repite por disminución a escalas menores).





Hay varios trabajos que analizan la manifestación de estructuras fractaliformes en composiciones clásicas: por ejemplo, en algunos se estudia la analogía entre la estructura del conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven, así como entre el triángulo de Sierpinski y el tercer movimiento de la sonata para piano número 15, opus 28, también de Beethoven.




La geometría fractal y la teoría del caos han obligado a muchos científicos a observar con otros ojos la complejidad del mundo. Algunos músicos han aplicado esta nueva visión a sus composiciones para producir piezas que desencadenan en los oyentes reacciones de muy diversa índole: desde la fascinación a la incomprensión. La música fractal se mueve en la frontera entre la monotonía y la sorpresa, entre la aleatoriedad y la predicibilidad. Es una manifestación musical que cuenta con poco más de una década de vida.

Para ver y escuchar mas acerca de este tema, les recomiendo visitar: fRAKTÆPHONIA

Photos: G. M. & Photoshop



Πέμπτη 16 Αυγούστου 2007

Πέμπτη 2 Αυγούστου 2007

fractales





lo bello en todas las escalas




Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

Aunque muchas estructuras naturales tienen estructuras de tipo fractal, un fractal matemático es un objeto que tiene por lo menos una de las siguientes características:

Tiene detalles en escalas arbitrariamente pequeñas.
Es demasiado irregular para ser descripto en términos geométricos tradicionales.
Tiene auto-similaridad exacta o estadística.
Su dimensión de Hausdorff-Besicovitch no es entera.
Puede ser definido recursivamente.
El problema con cualquier definición de fractal es que existen objetos que uno quisiera llamar fractal, pero que no satisfacen ninguna de las propiedades anteriores.

Por ejemplo, fractales de la naturaleza como nubes, montañas y vasos sanguíneos, tienen límites inferiores y superiores en detalle; no existe un término preciso para "demasiado irregular"; existen diferentes maneras para definir "dimensión" con valores racionales; y no todo fractal es definido recursivamente. Los fractales estocásticos están relacionados con la teoría del caos.