Σάββατο, 6 Σεπτεμβρίου 2008

Verdades indemostrables







Sin cierta dosis de locura,
nadie puede creer firmemente estar en posesión de la verdad,
puesto que creer en la verdad
es precisamente locura.

Nietzsche


Kurt Gödel fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-americano, reconocido como uno de los más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un inmenso impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. Se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas dice que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.





En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletitud en "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). En dicho artículo postuló que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo los axiomas de Peano), se deduce que:

1-Si el sistema es consistente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de incompletitud.)

2-La consistencia de los axiomas no puede demostrarse desde el interior del sistema.

Estos teoremas finalizaron con medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática.






La idea básica del teorema de la incompletitud es más bien simple. Esencialmente Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula la cual se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.

Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración, al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal. También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.

Nació el 28 de abril de 1906 en Brno, Austria-Hungría (ahora República Checa) y murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, New Jersey.





verdad.

(Del lat. verĭtas, -ātis).

1. Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas forma la mente.

2. Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa.

3. Propiedad que tiene una cosa de mantenerse siempre la misma sin mutación alguna.

4. Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente.


axioma.

(Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα).

1. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.

2. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.


teorema.

(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).

1. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.



Fuente: Wikipedia, DRAE
Imágenes: G. M.






23 σχόλια:

Roy Jiménez Oreamuno είπε...

Priemra vez que NO se que decir.
Saludos

Gabriel είπε...

Roy: Mas allá de cuestiones lógicas, pareciera que en los fundamentos mismos de la ciencia, el hecho de que existan verdades indemostrables, indicaría que la fé no es patrimonio exclusivo de las religiones.
Un abrazo.

Alimontero είπε...

Me has dejado perpleja...y como tú bien dices... la fé no tiene la exclusividad.
Que tengas una bellísima semana!

Un abrazo con mi máxima admiración,

Ali

Gabriel είπε...

Ali, fué Gödel quién nos dejó perplejos hace ya mas de 70 años.
Un abrazo y buena semana.

yus είπε...

leí tu blog en la manana y en la tarde fui a ver los crimenes de oxford... ahi hablan de esto mismo. me dejó en silencio esta extrana coincidencia.

are you the butterfly?

Roy Jiménez Oreamuno είπε...

Aunque yo insisto tenemos un Dios 100% matemático, algo que se cumple en cualquier latitud y lugar del inmenso universo. Quien midió las pléyades, decía Dios, cuando Job contendía (discutía) con Dios.
Saludos

Cíclopa είπε...

Mi verdad es un teorema hecho de axiómas; miento.

Vago Re-cuerdo είπε...

Es verdad lo que dice Nietzsche( y no estoy loco) je je

Abrazo de Gol para vos y me alegra volver a leerte.

Desde La Plata

Marcos

Gabriel είπε...

Yus: No vi la peli, pero sí leí el libro, "Crímenes imperceptibles" de Guillermo Martinez, sobre el que está basada la película. Feliz coincidencia.
Un saludo y gracias por comentar.

...

Roy: un gusto tenerte de vuelta. Sabía que tendrías algo que decir.
A veces creo lo mismo, a veces no. Mis posiciones fluctúan permanentemente en el mar de la duda.
Un abrazo.

...

Cíclopa: Vos mentís, yo también.
¿Quién dice la verdad?
Un gran abrazo.

...

Marcos: Si es verdad lo que dice Nietzsche, estamos todos locos, lo cual es falso, ergo Nietzsche miente, o sea...
Un abrazo, amigo platense.

...

Para todos, les recomiendo la lectura de la novela "El tío Petrus y la conjetura de Goldbach"
de Apóstolos Doxiadis. En ella se menciona y explica de modo muy sencillo los teoremas de Gödel, ya que forman parte fundamental de la trama del relato.
Nuevamente saludos a todos y gracias por estar.

Gabriel

Eduardo Alvarado είπε...

Hay cosas que son y otras que no.
Están fuera de mi aunque algunas las sienta como parte mía...

Percibo, creo, siento, intuyo, pienso, veo, toco, amo, deseo, temo...esas "cosas".

Esto ocurre dentro de mi, provocado o referido por algo de fuera.

Soy "esa cosa" o "eso"...en fin, soy,
Pero...soy de verdad?
Si lo soy, todo eso otro de lo que también formo parte, lo es?

Así que soy tan cuestionable e incuestionable como todo eso otro.

Y sin embargo (digamos en mi corazón) hay una certeza.
No es una (verdad) literaria, ideológica, racional...
Y a ella solo puedo alcanzar si no me implica un interés (ningún interés).

Un abrazo hermano,

Eduardo

Eduardo Alvarado είπε...

Curioso que esto que expreso y la forma de argumentarlo contradice aparentemente lo que apunta el fragmento de Luigi Nono de "El Error como Necesidad".

De otro de tus posts...
De otro...

Eduardo Alvarado είπε...

De hecho me encantó el título del post: verdades indemostrables

Un fuerte abrazo,

Eduardo

Gabriel είπε...

Eduardo: el tema da para mucho, y, a pesar de que en principio se trata de cuestiones relacionadas con la lógica y la matemática, sospecho que hay conexiones con otros aspectos de la realidad, o de la existencia.
Comparto plenamente el des-interés necesario para alcanzar la verdad, o como quieras llamarla. Lo relaciono con el des-apego, o cierto estado de inocencia, de no-pre-juicios.
Este espacio es pobre para poder tratar el tema, pero sé que vos me entendés.
Y si, a mi me maravilla esto de que haya Verdades Indemostrables, aunque mas no sea en el terreno de la lógica. Será esa fatal atracción que siento por las paradojas.
Al margen de todo, está claro que el universo que nos rodea es in-ascible, aterrador.
Y entre un aquí y un ahora, está esta madeja de cables y bytes que nos permiten este debate.
Un gran abrazo,

Gabriel

Eduardo Alvarado είπε...

Gracias...!!!

Un gran abrazo

Alimontero είπε...

Tuve que volver...y Eduardo Alvarado me resuena completamente...y luego tambien tu comentario...es un pobre espacio para tan vasto temazo...y quedó planteado.. quedó declarada la inquietud, si?
Tambien coincido con el título "Verdades indemostrables" como genial, preciso y conciso.... y es que las cosas del alma no necesitan ser demostradas...es tan subjetivo...
Excelente y profunda, como todo lo que escribes, esta entrada...
te abrazo con respeto y cariño... que tengas un lindo y completo finde..

Ali

Gabriel είπε...

Ali: el tema es apasionante, y no te iumaginás el revuelo que se armó allá por los años 30 cuando Gôdel lo demostró. Fué una bomba atómioca en el corazón de la razón pura. Hubo que admitir que en el seno de las mismísima matématica había lugar para la fe.
Un enorme beso para vos y que tengas un bello fin de semana.

Lesan Mora είπε...

No hay nada para rebatir algo tan cierto.
besos
lesan

Gabriel είπε...

Lesan: Justamente, creo que hay de todo para rebatir!
Besos, verdaderos, para vos.

WENDY είπε...

El que tiene una certeza solo sabe equivocarse, dice una cancion. Y si bien Nietzsche dijo que Dios ha muerto, creo que se sigue ocultando detras de cada interpretacion de la realidad, porque nada es real. Casi nada...para no ser tan drastica. Dios seria el resto, lo que no se sabe, lo impensable. La ciencia es el nuevo Dios. espero haberme dado a entender. Saludos!.

Gabriel είπε...

Wendy: Quien será ese afortunado? Afirmo que no existe.
No sé si dios a muerto. Para ello primero debe haber existido, cosa que dudo. Sobre lo que no dudo es sobre la muerte de Nietzsche. Interesante ese "casi". Por esa fisura se cuelan todos los universos posibles (y los imposibles también). Creo haberte entendido.
Un abrazo y gracias por tu visita.

raizen είπε...

Creo que la fé funciona en el silencio, sin preguntas ni respuestas, es capaz de desafiar las cifras y las estadísticas. Es una certeza que no tiene ni lógica, ni razones, aunque si la mente tartamudea desaparece.
Interesante post, dá para mucho, sí.

Saludos

¿Me permites colocar el link de tu blog en mi blog raizensun?

Gabriel είπε...

Raizen: Es así como vos decís. La Fe no sabe de lógica. De todos modos, a pesar de mi comentario a Roy, acerca de la Fé en la ciencias, me corrijo: sigue siendo patrimonio exclusivo de las religiones. El hecho de que haya verdades indemostrables, y me refiero solo al terreno de la lógica, solo dice eso: mientras no se comprueben, solo son conjeturas, ya que a pesar de que existen esas verdades indemostrables, es imposible saber a priori si estamos frente a una de ellas, tal el caso de la famosa Conjetura de Goldbbach. En tanto no sea demostrada, no se le puede asignar el rango de teorema, a pesar de que hay fuertes indicios o sospechas de que es cierta.

Por supuesto que que es un gusto que enlaces este sitio con el tuyo.
Un gran abrazo y gracias por tu visita.

Manu Ribeiro είπε...

bueno, no leei a castaneda, pero se quien es, el chaman americano, mi hermano es tiene varios libros de el, cuando pueda, lo leere