De libros y hexágonos

El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercado por barandas bajísimas.

Como todos los hombres de la Biblioteca, he viajado en mi juventud; he peregrinado en busca de un libro, acaso el catálogo de catálogos ; ahora que mis ojos casi no pueden descifrar lo que escribo, me preparo a morir a una pocas leguas del hexágono en que nací.

Básteme, por ahora, repetir el dictamen:
La Biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier hexágono, cuya circunferencia es inaccesible.

No hay. en la basta Biblioteca, dos volúmenes iguales.

[...]

Afirman los impíos que el disparate es normal en la Bilblioteca y que lo razonable (y aun la humilde y pura coherencia) es casi milagrosa.

La Biblioteca es ilimitada y periódica. Si un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden. Mi soledad se alegra con esa elegante esperanza.

Jorge Luis Borges,
Fragmentos de "La Biblioteca de Babel"
Ficciones

Photos: G. M.

error

Una pelusa en el concepto de límite.
Una ecuación sin curva.
Las interrupciones de la luz
en los vagones del subte “A”.

Guillermo Lema, Subterráneas
Photo: G. M.

orden

...................................................Es duro percatarse
...................................................de que hay otro orden
...................................................después del orden
...................................................de este mundo.


....................................................¿Qué orden es ése?

....................................................No lo conocemos






....................................................El orden y el número de las posibles
....................................................suposiciones
....................................................en ese entorno
....................................................es precisamente
....................................................¡el infinito!

....................................................¿Y el infinito, qué es?

....................................................No lo sabemos con exactitud.

.....................................................Es una palabra
.....................................................que nos sirve
.....................................................para señalar
.....................................................la apertura
.....................................................de nuestra conciencia
.....................................................a la posibilidad
.....................................................desmedida
.....................................................interminable y desmedida.

.....................................................¿Y la conciencia qué es?

.....................................................No lo sabemos con seguridad.






.....................................................Es la nada.

.....................................................Una nada
.....................................................que nos sirve
.....................................................para señalar cuando ignoramos algo,
.....................................................no sabemos
.....................................................relacionado a qué
.....................................................y entonces
.....................................................pronunciamos la palabra
.....................................................conciencia
.....................................................respecto de la conciencia
.....................................................pero hay muchas otras facetas.

.....................................................¿Entonces?

Antonin Artaud
Para terminar con el juicio de Dios

Photos: G. M.

Conjeturas

No hay certidumbre allí donde no es posible aplicar ninguna de las ciencias matemáticas ni ninguna de las basadas en las matemáticas.

Leonardo da Vinci

El 7 de junio de 1742, Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque él no lograba encontrarla:

Todo número par positivo, mayor que dos,
se puede escribir como la suma de dos números primos.

Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por uno. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. Seis no es primo porque es divisible por 2 y por 3, mientras que 15 no lo es porque es divisible por 3 y por 5. Además, el número uno no es considerado primo.





Si un matemático cree que una afirmación es cierta, pero esa veracidad no la puede probar, tiene la opción de presentarla como una conjetura.
Para la matemática, la expresión conjetura refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no fue probada ni refutada hasta la fecha.

La más famosa conjetura es la planteada por un matemático alemán que trabajaba en Rusia, Christian Goldbach (1690-1764). Para explicarla, volvamos a decir que un número primo es cualquiera mayor que 1 y sólo divisible por sí mismo y por 1. Existen infinitos números primos. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.

A Goldbach le parecía que cualquier número par mayor que 2 podía expresarse como la suma de dos primos (a veces de más de una manera). Así,

4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3; 10 = 5+5; 12 = 7+5; 14 = 7+7; 16 = 11+5;

18 = 13+5; 20 = 13+7; 22 = 11+ 11; 24 = 13+11; 26 = 13+13; 28 23+5;

30 = 23+7; 32 = 19+13; 34 = 17+17; 36 = 23+13; 38 = 19+19;

40 = 23+17; 42 = 23+19;

etcétera.





Ningún matemático ha hallado jamás número par alguno mayor que 2, que no pudiera expresarse mediante la suma de dos números primos. Los matemáticos están convencidos de que no existe tal número, y que la conjetura de Goldbach es cierta. Sin embargo, nadie ha sido capaz de probarla hasta la fecha.
Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión respetada de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach debe ser cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca alguien que logre demostrarlo.


(Del lat. coniectūra).

1. f. Juicio que se forma de las cosas o acaecimientos por indicios y observaciones.

2. f. Ecd. Lección no atestiguada en la tradición textual y que la edición crítica reconstruye de acuerdo con otros indicios.

Fuentes: Matemática Estás Ahí? de Adrián Paenza, DRAE
Photos: G. M.

Verdades indemostrables

Sin cierta dosis de locura,
nadie puede creer firmemente estar en posesión de la verdad,
puesto que creer en la verdad
es precisamente locura.

Nietzsche

Kurt Gödel fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-americano, reconocido como uno de los más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un inmenso impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. Se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas dice que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.





En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletitud en "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). En dicho artículo postuló que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo los axiomas de Peano), se deduce que:

1-Si el sistema es consistente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de incompletitud.)

2-La consistencia de los axiomas no puede demostrarse desde el interior del sistema.

Estos teoremas finalizaron con medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática.






La idea básica del teorema de la incompletitud es más bien simple. Esencialmente Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula la cual se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.

Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración, al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal. También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.

Nació el 28 de abril de 1906 en Brno, Austria-Hungría (ahora República Checa) y murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, New Jersey.




verdad.

(Del lat. verĭtas, -ātis).

1. Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas forma la mente.

2. Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa.

3. Propiedad que tiene una cosa de mantenerse siempre la misma sin mutación alguna.

4. Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente.


axioma.

(Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα).

1. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.

2. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.


teorema.

(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).

1. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

Fuente: Wikipedia, DRAE
Imágenes: G. M.

realidad

Somos hombres
y nuestra suerte es aprender
y ser arrojados a mundos nuevos,
inconcebibles.

Don Juan

Realidad (del latín realitas y éste de res, «cosas») significa, en el uso común «todo lo que existe». De un modo más preciso, el término incluye todo lo que es, sea o no perceptible, accesible o entendible por la ciencia, la filosofía o cualquier otro sistema de análisis.

fuego sagrado

No dejaremos de explorar
Y al final de toda nuestra investigación
Habremos llegado a donde comenzamos
Y conoceremos el lugar por vez primera...
Cuando las lenguas de fuego se plieguen
Para formar un nudo de fuego
Y el fuego y la rosa sean sólo uno.

T. S. Elliot, Four Quartets

Photo: G. M.

uno

No dudo que la majestad y belleza del mundo,
están latentes en cualquier minucia del mundo.

Walt Whitman

Photos: G. M.

Conciencia

La Energía es lo Real
El universo es Energía
La Energía es la Conciencia

Shakta Vedanta

La mecánica cuántica postula una identidad de naturaleza entre el observador y el objeto observado. Según este concepto, nuestra conciencia altera la función ondulatoria, el comportamiento de lo observado, al modificar nuestra apreciación de las probabilidades de un sistema.

Existen dos modos de conocimiento básicos: un conocimiento simbólico, por mapas, dualista e inferencial, y otro conocimiento directo, no dual e íntimo. Los diferentes modos de conocer se corresponden con diferentes estados de Conciencia, y como nuestra identidad personal también se relaciona con los diferentes estados de Conciencia, desde donde actuamos, un cambio en el modo de conocer provoca un cambio en nuestro sentimiento de identidad básico.

Un conocimiento no-dual
revela al Universo tal cual es,
la Realidad absoluta,
en donde el sujeto es parte de lo Real.

Fuente: El Tao de la Música
Carlos Fregtman
Photos: G. M.

Axiomas

*

1 - 1 es un número

2 - El sucesor inmediato de un número también es un número.




3 - 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.

4 - Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.

5 -Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad, pertenece a todos los números
(inducción matemática).

Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) en 1889.
Aunque Richard Dedekind intentó fundamentar los números naturales, basándose en las ideas de la teoría de conjuntos que por aquél tiempo desarrollaba George Cantor, no fue sino Giuseppe Peano quien proporcionó una definición axiomática del conjunto de números naturales. Lo hizo mediante cinco axiomas, utilizando tres conceptos primitivos, cero, número (número natural o entero no negativo) y la relación binaria ser sucesor de (o siguiente )

Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues es admitida por todas las personas, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica".

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

Photos: G. M.
Fuente.: Wikipedia

* Este es un antiguo post, que vuelvo a publicar, para ampliar ciertos conceptos, y principalmente, por puro gusto de volver a compartirlo.

Agradezco a mi amiga Ana por tan cálido gesto.
Un abrazo, extremeña.

Otras Tierras

Photo: G. M.

Podemos ascender por encima de esta Tierra insípida, y contemplándola desde lo alto considerar si la Naturaleza ha volcado sobre esta pequeña mota de polvo todas sus galas y riquezas. De este modo, al igual que los viajeros que visitan otros países lejanos, estaremos más capacitados para juzgar lo que se ha hecho en casa, para poderlo estimar de modo real, y dar su justo valor a cada cosa. Cuando sepamos que hay una multitud de Tierras tan habitadas y adornadas como la nuestra, estaremos menos dispuestos a admirar lo que este nuestro mundo llama grandeza y desdeñaremos generosamente las banalidades en las que deposita su afecto la generalidad de los hombres.

Christiaan Huygens, Los mundos celestiales descubiertos, hacia 1690

intersticios

En el momento en que se perciben dos cosas,
tomando conciencia del intervalo entre ellas,
hay que concentrarse en ese intervalo.
Si se eliminan simultaneamente las dos cosas,
entonces, en ese intervalo, resplandece la Realidad.

Vijñana Bhairava
estrofa 61

Azar

El tema del azar no es sólo inquietante en el sentido cotidiano que le damos al significado de la palabra, sino que también lo es para la ciencia en sí.
Debemos coincidir que en una primera aproximación el azar para el científico es algo así como la capa de polvo de ignorancia de la que el hombre de ciencia se pretende desprender, o al menos reducir, a través de modelos científicos descritos con precisión por el estricto lenguaje de la ciencia que es la matemática. Esta idea es seguramente la que estaba en la base de las intenciones de los fundadores de la ciencia moderna, y que tal vez conoce su máximo esplendor durante el siglo XIX.




Esta visión del azar desde el punto de vista científico, lo coloca en la posición de antagonista del conocimiento que la ciencia pretende abordar. No en vano la intervención del azar en la naturaleza ha sido execrada como lo resume la antológica frase de Albert Einstein, “Dios no juega a los dados”, que refleja la clara posición de la que se hablaba en el párrafo anterior, acerca de que la naturaleza en sí evoluciona libre de azar, y que por lo tanto el progreso de nuestros modelos de la misma, nos llevaría finalmente a desprendernos de él.




Sin embargo, más allá de las convicciones de una de las figuras más prominentes del siglo XX, los más exitosos modelos científicos y aplicaciones tecnológicas no sólo incorporan en este siglo nociones de azar, sino que al hacerlo se obtienen resultados satisfactorios.
Tanto es así que la máxima recompensa al éxito científico, el Premio Nobel, es recibido por Einstein paradojalmente, por sus trabajos sobre el “Efecto fotoeléctrico”, trabajando con el modelo cuántico, el primer modelo que por excelencia acepta el azar en su seno.
Tal vez bien se ha dicho por ahí, que si bien “OK, God don’t gamble... but human does if prize deserves it, and Einstein was human... and don’t you think a Nobel is worth enough!”.
De alguna manera es una forma de resolver la paradoja, el que no juega a los dados es Dios, pero los humanos no podemos resistirnos al juego, más aún cuando este nos provee de resultados satisfactorios.
Y en parte era la explicación que los científicos deterministas como Einstein daban para justificar el éxito de esas teorías, que sostenían, sino erradas, al menos incompletas, por lo tanto substrato de la limitación humana, que una vez superada exorcizaría el azar, y nos llevaría a la virtud divina de no jugar.





El problema planteado entonces es: El azar es debido a un conocimiento erróneo y/o incompleto de las leyes que gobiernan el universo, o es una propiedad esencial, ontológica, del mismo?
Los últimos estudios al respecto parecen indicar que esta última es la condición mas probable, que de hecho armoniza perfectamente con las leyes de la mecánica cuántica (de carácter probabilístico) y el principio de indeterminación de Heisenberg.


La definición adecuada del azar es un problema difícil, así como también lo es un tratamiento adecuado de la aleatoriedad. Podemos encontrar varios conceptos relacionados, pero no todos son intercambiables ni todos implican aleatoriedad:

• Azar como encuentro accidental. Esta situación se considera azar porque los procesos que coinciden son independientes, no hay relación causal entre ellos, aunque cada uno pueda ser por su parte estrictamente determinista. Un ejemplo sería un eclipse que coincide con la entrada de un cometa en el sistema solar. Este tipo de azar es compatible con el determinismo de un mundo mecanicista.
• Azar como desorden o como complejidad. Si una serie de números no puede obtenerse por un algoritmo más corto que la serie misma se considera que ésta es aleatoria. Si las matemáticas son creación humana este sería un caso de azar epistemológico, pero si son independientes de la mente humana entonces se trataría de un azar ontológico.
• Azar como dice C. Monti. Es el conjunto de datos o información que no pueden ser medidos/a o decodificados/a por ningún sistema humano existente. Es Ausencia de causa.
• Azar como proceso espontáneo, como puede ser la desintegración de un núcleo radiactivo concreto. Este tipo de procesos, con otros encontrados en la mecánica cuántica, no parecen deberse a ninguna causa externa.
• Azar como proceso que carece de finalidad.

Bibliografía:
Gambling. El azar en la ciencia. Roberto Miglietti.
Física cuántica para filósofos. Alberto Clemente de la Torre. ( FCE)
Wikipedia.
Montajes: G. Lema

Photos: G. M.

De Laberintos

Cuentan los hombres dignos de fe (pero Alá sabe más) que en los primeros días hubo un rey de las islas de Babilonia que congregó a sus arquitectos y magos y les mando a construir un laberinto tan perplejo y sutil que los varones más prudentes no se aventuraban a entrar, y los que entraban se perdían. Esa obra era un escándalo, porque la confusión y la maravilla son operaciones propias de Dios y no de los hombres. Con el andar del tiempo vino a su corte un rey de los árabes, y el rey de Babilonia (para hacer burla de la simplicidad de su huésped) lo hizo penetrar en el laberinto, donde vagó afrentado y confundido hasta la declinación de la tarde. Entonces imploró socorro divino y dio con la puerta. Sus labios no profirieron queja ninguna, pero le dijo al rey de Babilonia que él en Arabia tenía otro laberinto y que, si Dios era servido, se lo daría a conocer algún día. Luego regresó a Arabia, juntó sus capitanes y sus alcaides y estragó los reinos de Babilonia con tan venturosa fortuna que derribo sus castillos, rompió sus gentes e hizo cautivo al mismo rey. Lo amarró encima de un camello veloz y lo llevó al desierto.

Photos: G. M.

Cabalgaron tres días, y le dijo: "Oh, rey del tiempo y substancia y cifra del siglo!, en Babilonia me quisiste perder en un laberinto de bronce con muchas escaleras, puertas y muros; ahora el Poderoso ha tenido a bien que te muestre el mío, donde no hay escaleras que subir, ni puertas que forzar, ni fatigosas galerías que recorrer, ni muros que veden el paso." Luego le desató las ligaduras y lo abandonó en la mitad del desierto, donde murió de hambre y de sed. La gloria sea con aquel que no muere.


Los dos reyes y los dos laberintos.
J. L. Borges

DRAE:

laberinto.

(Del lat. labyrinthus, y este del gr. λαβύρινθος).

1. m. Lugar formado artificiosamente por calles y encrucijadas, para confundir a quien se adentre en él, de modo que no pueda acertar con la salida.

2. m. Cosa confusa y enredada.

3. m. Composición poética hecha de manera que los versos puedan leerse al derecho y al revés y de otras maneras sin que dejen de formar cadencia y sentido.

4. m. Anat. Parte del oído interno.

Los invito a visitar Laberintos , Labyritn y Borges no conocía el Photoshop de Malena.

La existencia de Dios

“Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros.
La visión dura un segundo o acaso menos;
no sé cuántos pájaros vi.
¿Era definido o indefinido su número?
El problema involucra la existencia de Dios.














Si Dios existe, el número es definido,
porque Dios sabe cuántos pájaros vi.
Si Dios no existe, el número es indefinido,
porque nadie pudo llevar la cuenta.
En tal caso, vi menos de diez pájaros (digamos) y más de uno;
pero no vi nueve, ocho, siete, seis, cinco, cuatro, tres o dos pájaros.





Vi un número entre diez y uno,
que no es nueve, ocho, siete, seis, cinco, etcétera.
Ese número entero es inconcebible,
ergo, Dios existe.”

Argumentum Ornithologicum
J. L. Borges

Photos: G. M.

memoria

Nosotros, de un vistazo, percibimos tres copas en una mesa;




Funes todos los vástagos y racimos y frutos que comprende una parra...





No sé cuantas estrellas veía en el cielo.

De "Funes, el memorioso"
J. L. Borges

Photos: G. M. _ Sky & Telescope

La edad del Universo

"No hay imposibilidad lógica en la hipótesis que el mundo se creó hace cinco minutos, con una población que "recordaba" un pasado completamente irreal. No hay conexión necesariamente lógica entre eventos de épocas distintas; por lo tanto, nada de lo que sucede ahora o sucederá en el futuro puede refutar la hipótesis que el mundo comenzó hace cinco minutos atrás."

Bertrand Russell.
Analysis of Mind, 1921.

Universo es una palabra derivada del latín Universum, que a su vez proviene de unus (uno) y versus (vuelta).

En filosofía se designa Universo al mundo, o conjunto de todo lo que sucede. La ciencia modeliza el universo como un sistema cerrado que contiene energía y materia adscritas al espacio-tiempo y que se rige fundamentalmente por principios causales.

La teoría actualmente más aceptada de la formación del Universo es el modelo del Big Bang, que describe la expansión del espacio-tiempo a partir de una singularidad espaciotemporal. El Universo experimentó un rápido periodo de inflación cósmica que arrasó con todas las irregularidades iniciales. A partir de entonces el Universo se expandió y se convirtió en estable, más frío y menos denso. Las variaciones menores en la distribución de la masa dieron como resultado de la segregación fractal en porciones que se encuentran en el universo actual, como cúmulos de galaxias.

A partir de esta teoría, midiendo la velocidad de alejamiento de las galaxias entre sí, se ha llegado a determinar la edad del universo en aproximadamente 13.700 millones de años.

Fuente: Wikipedia
Photos: G. M.