quantum

Viajes, sueños y realidades

2010-08-16T10:22:00.000-07:00

-¿Entonces, amigo mío, siguiendo el ejemplo de los fenicios, regulabas tu camino de acuerdo con los astros?
-No -dijo Menipo-, viajé en los mismos astros.

Dada la acumulación de pruebas, no hay hipótesis más verosímil que la realidad.
Dada la acumulación de pruebas de lo contrario, no hay más solución que la ilusión.

El crimen perfecto
Jean Baudrillard

de números y signos

2010-05-21T18:48:00.000-07:00

Su primer estímulo, creo, fue el desagrado de que los treinta y tres orientales requirieran dos signos y tres palabras, en lugar de una sola palabra y un solo signo. Aplicó luego ese disparatado principio a los otros números. En lugar de siete mil trece, decía (por ejemplo) Máximo Pérez; en lugar de siete mil catorce, El Ferrocarril; otros números eran Luis Melián Lafinur, Olimar, azufre, los bastos, la ballena, el gas, la caldera, Napoléon, Agustín de Vedía. En lugar de quinientos, decía nueve.

Cada palabra tenía un signo particular, una especie de marca; las últimas eran muy complicadas... Yo traté de explicarle que esa rapsodia de voces inconexas era precisamente lo contrario de un sistema de numeración. Le dije que decir 365 era decir tres centenas, seis decenas, cinco unidades: análisis que no existe en los números "El Negro Timoteo" o "manta de carne". Funes no me entendió o no quiso entenderme.

De "Funes el memorioso"
Ficciones
Jorge Luis Borges

silencio

2010-04-02T12:18:00.000-07:00

Tú ves mis cinco dedos, y cualquiera puede ver los espacios vacíos entre mis dedos. Pero normalmente tú no verás los espacios vacíos; verás cinco dedos. Sin embargo, los espacios vacíos son más reales. Los dedos vienen y van, los espacios permanecen. Entre los sonidos de la música hay espacios de silencio. La auténtica música no consiste en los sonidos, sino en los espacios. Los sonidos vienen y van; los espacios permanecen. Y la música puede hacerte consciente de esos espacios con mucha más belleza que cualquier otra cosa.

Bhagwan Shree Rajneesh.

Touch is only possible at the edge of spaces.
Light is only precious during dark intervals.

Keith Jarret

La flecha del Tiempo

2010-01-17T15:59:00.000-08:00

El término "flecha del tiempo" fue creado por Arthur Eddington para poner de manifiesto el carácter direccional del mismo. Esta dirección muestra que los fenómenos suceden según un orden que va del pasado al futuro. Este carácter direccional del tiempo va unido a la concepción lineal de éste, y a su carácter unidimensional, que unido al espacio tridimensional forma el continuo espacio-tiempo.

La noción de una dirección irreversible del tiempo es relativamente reciente. En la culturas antiguas predominaba una concepción circular del mismo, relacionada con el carácter cíclico de fenómenos naturales tales como las mareas, los solsticios y las estaciones. La experiencia biográfica de crecimiento, envejecimiento y muerte se situaba en el marco de un tiempo cíclico, de manera que se consideraba la posibilidad de un retorno. Una de las formulaciones clásicas de esta concepción cíclica del tiempo es la noción de la ecpírosis de los estoicos. Pero la tradición judeo-cristiana, marcada por las tesis de una creación inicial y un fin de los tiempos o eschatón, juntamente con el carácter irreversible de la pasión, muerte y resurrección de Jesús (piénsese lo absurdo que resultaría para las tesis cristianas sostener que Dios muere repetidamente en un ciclo ininterrumpido de retornos), condujeron a sostener una concepción lineal y orientada del tiempo, que se concibe fluyendo desde el pasado hacia el futuro. Dicha concepción lineal está en la base de los conceptos de progreso y de evolución.

No obstante, en la física todas las ecuaciones son reversibles respecto del tiempo, es decir, que en todas las ecuaciones de la física, el tiempo puede ser entendido como una magnitud reversible, o lo que es lo mismo, todas sus ecuaciones son simétricas respecto al tiempo, salvo unas pocas excepciones. Pero el segundo principio de la termodinámica (al que Bergson llama la más metafísica de las leyes de la física), al señalar que en los sistemas aislados la entropía aumenta, proporciona un criterio para decidir la orientación temporal. Así, por ejemplo, si se rompe una copa y estalla en una gran cantidad de fragmentos, ha aumentado la entropía (el sistema pasa a tener más «desorden»). Así, la experiencia muestra que nunca de manera espontánea se vuelve a recomponer la esa copa. Según la interpretación de Boltzmann, esto es así no porque sea absolutamente imposible (teóricamente no lo es ya que, como hemos dicho, todas las ecuaciones físicas -dentro de la tradición de la física clásica- son simétricas respecto al tiempo), sino porque es altamente improbable. El aumento de la entropía nos permite distinguir entre el pasado y el futuro. Esta constatación se conoce como «flecha termodinámica del tiempo».

Recientemente se ha abordado la naturaleza del tiempo físico a partir de las ciencias físico-químicas, conduciendo a otras perspectivas que completan la concepción termodinámica clásica de la flecha del tiempo. Así, a partir del estudio de los sistemas alejados del equilibrio, algunos autores, como Prigogine, por ejemplo, han destacado el carácter esencialmente irreversible del tiempo, de forma que dicha irreversibilidad no depende solamente de la ínfima probabilidad de que un suceso que genera mayor entropía pueda darse a la inversa, sino que el carácter direccional del tiempo y su irreversibilidad le son inherentes. De hecho, la reflexión de Prigogine se efectúa más en el ámbito de la química y de los llamados sistemas alejados del equilibrio, más cercanos al paradigma de las ciencias de la vida que a los de la física que trata fundamentalmente con lo inerte. Por ello, no es de extrañar que desde este punto de vista se haga más hincapié en los fenómenos de la irreversibilidad puesto que, aunque desde la perspectiva física predomine la noción de crecimiento de la entropía, desde la perspectiva biológica (evolución, paso a lo complejo, creación de la cultura, aumento de la información, etc.), predomina la noción de la irreversibilidad. En este contexto se sitúan también las investigaciones sobre el caos, que permiten explicar fenómenos de auto-organización a partir de sistemas sin estructura aparentemente definida (aunque siguen siendo modelos semi-deterministas, engendrando un concepto paradójico: el de azar predecible, aunque no plenamente determinista en el sentido clásico).

Psicológicamente la direccionalidad del tiempo se muestra señalando que hay recuerdos del pasado, pero no hay memoria del futuro. A esta constatación se la denomina «flecha psicológica del tiempo».

Por otra parte, la cosmología contemporánea, basada mayoritariamente en la hipótesis del Big Bang, sustenta que el universo está en expansión, lo que determina la llamada «flecha cosmológica del tiempo». Según Stephen Hawking las tres flechas del tiempo van unidas, mantienen la misma dirección y se relacionan con el llamado principio antrópico* aunque, según Roger Penrose, será la unificación de las teorías físicas de la relatividad y de la mecánica cuántica (una teoría cuántica de la gravedad) la que permitirá una auténtica comprensión de la flecha del tiempo.

Dejó de leer el relato en el punto donde un personaje dejaba de leer el relato en el lugar donde un personaje dejaba de leer y se encaminaba a la casa donde alguien que lo esperaba se había puesto a leer un relato para matar el tiempo y llegaba al lugar donde un personaje dejaba de leer y se encaminaba a la casa donde alguien que lo esperaba se había puesto a leer un relato para matar el tiempo.

Secuencias.
Papeles inesperados,
Julio Cortazar

*
Término introducido por el cosmólogo Brandon Carter en 1973 para explicar las condiciones que hacen posible la existencia del ser humano en el universo.
Según el principio antrópico, si las características físicas del universo no fuesen las correctas (o sea, que la interacción electromagnética sea la adecuada para permitir la formación de los átomos, la fuerza nuclear sea la adecuada para permitir la formación de los núcleos atómicos, etc.), entonces, nosotros mismos no estaríamos aquí.

Fuente: Diccionario de filosofía Ed. Herder

El jardín de los senderos que se bifurcan

2009-12-08T18:33:00.000-08:00

Las leyes de la mecánica cuántica describen el comportamiento del mundo microscópico; un mundo en el que los objetos son tan leves que la presión de un rayo de luz, por tenue que sea, puede ocasionar desplazamientos bruscos. Esos objetos -átomos y moléculas invisibles al ojo humano- se mueven e interactúan unos con otros de una manera cualitativamente distinta de como lo hacen las pelotas de tenis, los automóviles, los planetas y el resto de la fauna del mundo visible.

Tanto en la descripción del mundo microscópico como en la del macroscópico es útil hablar del estado de un objeto. Un estado posible de una pelota de tenis es: en reposo al lado de la red. Otro estado posible es: a un metro del suelo y moviéndose hacia arriba a una velocidad de un metro por segundo. En este lenguaje, especificar el estado de la pelota de tenis en un momento dado es entonces indicar su posición y su velocidad en ese momento. Las leyes de la mecánica clásica, enunciadas por Isaac Newton, permiten predecir, dado el estado de la pelota de tenis en un instante inicial, el estado de la pelota de tenis en todo instante posterior. La secuencia de estados no es nada más que la trayectoria de la pelota de tenis. En mecánica cuántica esta descripción no funciona. Los átomos y otras partículas microscópicas no admiten una descripción en la que indicar el estado de la partícula en un momento dado se corresponda con indicar la velocidad y la posición: en mecánica cuántica, especificar el estado de una partícula en un momento dado es indicar una cierta función que contiene la probabilidad de que la partícula esté en un cierto lugar con una cierta velocidad. Las leyes de la mecánica cuántica, enunciadas en este caso por Erwin Schrödinger y Werner Heisenberg, permiten calcular los cambios temporales de esa función de probabilidad, o en términos más técnicos, de la función de onda. Nos encontramos así con una de las revoluciones conceptuales de la mecánica cuántica: la pérdida de la idea de trayectoria en favor de una descripción en términos de las probabilidades de las trayectorias.

Con el objeto de comparar dos visiones probabilísticas, la clásica y la cuántica, consideremos el más simple de los experimentos aleatorios del mundo macroscópico: Alicia tira al aire una moneda y la retiene en su mano cerrada. María debe predecir si la moneda que Alicia oculta en su mano cayó cara o cruz. Desde el punto de vista de María, el estado de la moneda puede describirse por una función de probabilidad (clásica) que indica que cada estado posible, cara o cruz, tiene una probabilidad del cincuenta por ciento. Si bien María tendrá que esperar que Alicia abra la mano para saber si la moneda cayó cara o cruz, es "obvio" que la moneda cayó en una, y sólo una, de las dos posibilidades y que la descripción probabilística en este caso cuantifica la ignorancia que tiene María del estado de la moneda. Cuando Alicia abre la mano, María comprueba que la moneda cayó, digamos, cruz. Por un lado podemos hablar también del cambio de estado de la memoria de María, que pasó de ignorar cómo cayó la moneda, a saber que cayó cruz. Por otro lado, en el proceso de observación, el estado de la moneda no cambió: la moneda había caído cruz y la observación lo único que hizo fue develar un resultado que existía de antemano. Comparemos este experimento con su equivalente microscópico. Si bien no existen monedas microscópicas, existen sistemas (átomos) que pueden estar en alguno de dos estados mutuamente excluyentes: el "espín" de un átomo, que puede tomar dos valores: "arriba" y "abajo". Digamos que tenemos un átomo en una "caja" cerrada y que sabemos que la función de onda del átomo corresponde un cincuenta por ciento para arriba y un cincuenta por ciento para abajo. En analogía con la moneda de Alicia, si abrimos la caja veremos el átomo en una de las dos posibilidades y si repetimos muchas veces el experimento preparando el átomo en el mismo estado inicial, comprobaremos que aproximadamente la mitad de las veces el espín está para arriba y casi la mitad de las veces para abajo. Hasta aquí las dos visiones probabilísticas coinciden. Sin embargo, la mecánica cuántica admite la posibilidad de que el átomo esté en una superposición de estados antes de ser observado y en un estado definido después de ser observado. Supongamos que María tiene ahora un detector capaz de abrir la caja y observar el espín del átomo. Después del proceso de medición no sólo cambia la memoria de María sino que también cambia el estado del átomo . La diferencia crucial estriba en que antes de que María lo observe el átomo está en una superposición de los dos estados; y no tiene sentido decir que está o para arriba o para abajo, porque el átomo está simultáneamente en los dos estados. Esta peculiar característica, que no tiene cabida en nuestra intuición, nos pone en frente de otra de las revoluciones conceptuales de la mecánica cuántica: la pérdida de la existencia de una realidad objetiva en favor de varias realidades que existen simultáneamente.

La pregunta central, que resume el problema de la medición, todavía hoy sin resolver, puede ser formulada en el contexto de nuestro ejemplo de la siguiente manera:

Si tanto María como el átomo están sometidos a las leyes cuánticas; y si el átomo está en una superposición de estados antes de la medición y en uno bien definido después de la medición, ¿cuál es el mecanismo por el cual el átomo "elige" un estado y no otro? El consenso generalizado es que la solución de este dilema excede a la mecánica cuántica, desborda una de las teorías de la física con mayor poder explicativo y de predicción.

La única "solución" a la paradoja estaría en la teoría de Everett: o la mecánica cuántica es incompleta o aceptamos la resistida teoría de los mundos paralelos de Everett y DeWitt, en cuyo caso el mundo sería precisamente el laberinto de Ts'ui Pên, que:

"creía en una serie de tiempos, en una red creciente y vertiginosa de tiempos divergentes, convergentes y paralelos. Esa trama de tiempos que se aproximan, se bifurcan, se cortan o que secularmente se ignoran, abarca todas las posibilidades. No existimos en la mayoría de esos tiempos; en algunos existe usted y no yo; en otros, yo, no usted; en otros, los dos" (Obras Completas, I: 479).

Photos: G. M.

En "El jardín de senderos que se bifurcan" Borges menciona a Ts'ui Pên, un astrólogo chino que ha escrito un libro extraordinario: El Jardín de Senderos que se Bifurcan . Ts'ui Pên se había propuesto dos tareas inconcebibles: construir un laberinto infinitamente complejo y escribir una novela interminable. Después de su muerte se pensó que había fracasado por cuanto la existencia del laberinto no estaba clara y la novela no sólo estaba incompleta sino que resultaba absurda e incoherente (por ejemplo, algunos personajes morían y reaparecían en capítulos posteriores). Para sorpresa de Yu Tsun, Albert le revela que ha descubierto el secreto de la enigmática novela: el libro es el laberinto, y el laberinto no es espacial sino temporal. El jardín es la imagen del universo tal como lo concebía Ts'ui Pên, y si aceptamos la hipótesis de Everett, el mundo es un jardín de senderos que se bifurcan.

En cada medición cuántica el universo se ramifica, con una componente por cada resultado posible del experimento. En uno de los universos la memoria de María se corresponde con el espín para arriba; en el otro, con el espín para abajo. La secuencia de las configuraciones de la memoria de María, o la "trayectoria" de las memorias es diferente en cada uno de los universos.

Los dos autores presentan la idea central de maneras llamativamente parecidas. En la sección 5 del artículo original, Everett dice:

La "trayectoria" de las configuraciones de la memoria de un observador que realiza una serie de mediciones no es una secuencia lineal de configuraciones de la memoria sino un árbol ramificándose (a branching tree), con todos los resultados posibles que existen simultáneamente.

En "El Jardín de los senderos que se bifurcan", Borges dice:

En todas las ficciones, cada vez que un hombre se enfrenta con diversas alternativas, opta por una y elimina las otras; en la del casi inextricable Ts'ui Pên, opta "simultáneamente" por todas. Crea, así, diversos porvenires, diversos tiempos, que también proliferan y se bifurcan.

Ahora bien, ¿dónde están todos estos universos? Una respuesta es que pueden estar "aquí", donde está "nuestro" universo. Según la teoría estos universos no interactúan, de manera que no hay razón para excluir la posibilidad de que estén ocupando el mismo espacio. Otra respuesta es que los universos estén "apilados" en una dimensión adicional de la que nada sabemos.

Borges parece ser entonces el primero en formular esta alternativa al tiempo lineal. La otra posibilidad, la de un tiempo cíclico, tiene numerosos antecedentes en culturas arcaicas y en literaturas a las que Borges hace detallada referencia en varios escritos. Con los tiempos múltiples la historia es diferente: "Hume ha negado la existencia de un espacio absoluto, en la que tiene lugar cada cosa; yo, la de un solo tiempo, en la que se eslabonan todos los hechos . Negar la coexistencia no es menos arduo que negar la sucesión ( Otras Inquisiciones ).

Mientras compilaba el material para este ensayo le pregunté a Bryce DeWitt, que ahora está en la Universidad de Texas en Austin, si él tenía conocimiento de "El Jardín de senderos que se bifurcan" al escribir el artículo de 1971 donde acuña el término "muchos mundos". Me contestó que no.

Extractado de la conferencia “Borges y la mecánica cuántica” de Alberto Rojo

En la ventana estaban los tejados de siempre
y el sol nublado de las seis.
Me pareció increible que ese dia
sin premoniciones ni símbolos
fuera el de mi muerte implacable.
A pesar de mi padre muerto,
a pesar de haber sido un niño
en un simétrico jardín de Hai Feng,
yo, ahora, iba a morir?

Después reflexioné que todas las cosas
que suceden a uno suceden
precisamente, precisamente ahora.
Siglos de siglos y solo en el presente
ocurren los hechos;
innumerables hombres en el aire,
en la tierra y el mar,
y todo lo que realmente pasa me pasa a mi.

J. L. Borges

Agujeros negros

2009-11-22T08:18:00.000-08:00

Un agujero negro es una región del espacio-tiempo que se caracteriza por una gran concentración de masa en su interior, con enorme aumento de la densidad, lo que provoca un campo gravitatorio de tal intensidad que ninguna partícula material, ni siquiera los fotones de luz, puede escapar de él. Su fuerza de gravedad provoca una singularidad envuelta por una superficie cerrada, llamada horizonte de sucesos. El horizonte de sucesos separa la región del agujero negro del resto del Universo y es la superficie límite del espacio a partir de la cual ninguna partícula puede salir, incluyendo la luz. Esta curvatura del espacio-tiempo es estudiada por la relatividad general, la que predijo la existencia de los agujeros negros y fue su primer indicio. En los años 70, Hawking, Ellis y Penrose demostraron varios teoremas importantes sobre la ocurrencia y geometría de los agujeros negros. Previamente, en 1963, Roy Kerr había demostrado que en un espacio-tiempo de cuatro dimensiones todos los agujeros negros debían tener una geometría cuasi-esférica determinada por tres parámetros: su masa m, su carga eléctrica total e y su momento angular L.

Se cree que en el centro de la mayoría de las galaxias, entre ellas la Vía Láctea, hay agujeros negros supermasivos. La existencia de agujeros negros está apoyada en observaciones astronómicas, en especial a través de la emisión de rayos X por estrellas binarias y galaxias activas.

Proceso de formación

El origen de los agujeros negros es planteado por el astrofísico Stephen Hawking en su libro titulado Agujeros negros y la historia del tiempo. Allí él mismo comenta acerca del proceso que da origen a la formación de estas singularidades del espacio-tiempo.
Dicho proceso comienza posteriormente a la muerte de una estrella del tipo gigante roja (estrella de gran masa), se denomina muerte a la extinción total de su energía. Tras varios miles de millones de años de vida, la atracción gravitatoria de dicha estrella comienza a ejercer fuerza sobre si misma originando una masa concentrada en un pequeño volumen, convirtiéndose de ese modo en una enana blanca. En este punto dicho proceso puede proseguir hasta el colapso de dicho astro por la auto atracción gravitatoria que termina por convertir a esta enana blanca en un agujero negro. Este proceso acaba por reunir una fuerza de atracción tan fuerte que atrapa hasta la luz en éste.

Historia.

El concepto de un cuerpo tan denso que ni la luz pudiese escapar de él, fue descrito en un artículo enviado en 1783 a la Royal Society por un geólogo inglés llamado John Michell. Por aquel entonces la teoría de Newton de gravitación y el concepto de velocidad de escape eran muy conocidas. Michell calculó que un cuerpo con un radio 500 veces el del Sol y la misma densidad, tendría, en su superficie, una velocidad de escape igual a la de la luz y sería invisible. En 1796, el matemático francés Pierre-Simon Laplace explicó en las dos primeras ediciones de su libro Exposition du Systeme du Monde la misma idea aunque, al ganar terreno la idea de que la luz era una onda sin masa, en el siglo XIX fue descartada en ediciones posteriores.

En 1915, Einstein desarrolló su teoría de la relatividad general y demostró que la luz era influenciada por la interacción gravitatoria. Unos meses después, Karl Schwarzschild encontró una solución a las ecuaciones de Einstein, donde un cuerpo pesado absorbería la luz. Se sabe ahora que el radio de Schwarzschild es el radio del horizonte de sucesos de un agujero negro que no gira, pero esto no era bien entendido en aquel entonces. El propio Schwarzschild pensó que no era más que una solución matemática, no física. En 1930, Subrahmanyan Chandrasekhar demostró que un cuerpo con una masa crítica, (ahora conocida como límite de Chandrasekhar) y que no emitiese radiación, colapsaría por su propia gravedad porque no había nada conocido que pudiera frenarla (para dicha masa la fuerza de atracción gravitatoria sería mayor que la proporcionada por el principio de exclusión de Pauli). Sin embargo, Eddington se opuso a la idea de que la estrella alcanzaría un tamaño nulo, lo que implicaría una singularidad desnuda de materia, y que debería haber algo que inevitablemente pusiera freno al colapso, línea adoptada por la mayoría de los científicos.

En 1939, Robert Oppenheimer predijo que una estrella masiva podría sufrir un colapso gravitatorio y, por tanto, los agujeros negros podrían ser formados en la naturaleza. Esta teoría no fue objeto de mucha atención hasta los años 60 porque, después de la Segunda Guerra Mundial, se tenía más interés en lo que sucedía a escala atómica.

En 1967, Stephen Hawking y Roger Penrose probaron que los agujeros negros son soluciones a las ecuaciones de Einstein y que en determinados casos no se podía impedir que se crease un agujero negro a partir de un colapso. La idea de agujero negro tomó fuerza con los avances científicos y experimentales que llevaron al descubrimiento de los púlsares. Poco después, en 1969, John Wheeler acuñó el término "agujero negro" durante una reunión de cosmólogos en Nueva York, para designar lo que anteriormente se llamó "estrella en colapso gravitatorio completo".

Fuente: Wikipedia
Photos: G. M. & Photoshop

Dios (no) juega a los dados

2009-11-14T18:37:00.000-08:00

La palabra aleatorio se usa para expresar una aparente carencia de propósito, causa, u orden.

La aleatoriedad es un campo de definición que, en matemáticas, se asocia a todo proceso cuyo resultado no es previsible más que en razón de la intervención del azar. El resultado de todo suceso aleatorio no puede determinarse en ningún caso antes de que este se produzca. Por consiguiente, los procesos aleatorios quedan englobados dentro del área del cálculo de probabilidad y, en un marco más amplio, en el de la estadística.

Hay que notar que la predisposición a creer que "todo tiene un propósito o una causa" está de hecho implícita en la expresión "aparente carencia de propósito o causa". Los humanos están siempre buscando patrones en su experiencia; el más básico es la correlación causa-efecto. Esto parece estar embebido en el cerebro humano, y quizás también en el de otros animales. Es debido a esta tendencia que la ausencia de una causa se nos aparece como conflictiva.

Para resolver este problema, suele decirse que los eventos aleatorios son causados por azar. Más que resolver el problema de la aleatoriedad, esto abre la enorme tarea de definir el azar. Es difícil evadir la circularidad al definir el azar en términos de aleatoriedad.

Fuente: Wikipedia

Aquello que es estático y repetitivo es aburrido. Aquello que es dinámico y aleatorio es confuso.
En el medio yace el arte.

John Locke

sobre números

2009-11-01T03:47:00.000-08:00

Sucesión

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe a_n en lugar de f(n).

Ejemplo:

a_n = 1/n

a₁ = 1, a₂ = 1/2, a₃ = 1/3, a₄ = 1/4, ...

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural a_n <= a_n+1 (a₁ <= a₂₃ <= ... <= a_n). <= a

Ejemplo:

a_n= n es monótona creciente.

a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, ...

Ser

2009-08-05T18:58:00.000-07:00

El caos/abismo/sin fondo es lo que está detrás,
o debajo de toda existencia concreta,
y al mismo tiempo es la fuerza creadora -vis formandi-
que hace surgir formas, seres organizados.
El ser humano singular es un fragmento
o una instancia de esta vis formandi,
de esta fuerza o de la creatividad del ser como tal.

Cornelius Castoriadis

Imagen: G. M.

Laberintos II

2009-07-01T18:49:00.000-07:00

El laberinto es un invento del antiguo Egipto, en la XII dinastía, que erigió el primero de ellos a orillas del lago Moeris. Esta peculiar construcción espacial fue adoptada por el imaginario griego y con este nombre fue bautizado el palacio del rey Minos en Cnossos, Creta. Según la tradición fue construido por Dédalo, cuyo emblemático nombre también ha acabado por sustantivarse.

Los significados simbólicos del laberinto son múltiples. El paso por el laberinto, por ejemplo, formaba a veces parte de los ritos de iniciación, como ocurrió en el caso de Teseo, simbolizando su recorrido el hallazgo del centro espiritual oculto a la vez que el ascenso de la oscuridad hacia la luz.

En el cristianismo, los laberintos representados en el suelo de muchas iglesias antiguas simbolizaban los meandros de la vida humana, con sus dificultades, pruebas y desvíos, y con la Jerusalén celestial en el centro. Para el psicoanálisis el laberinto puede ser interpretado como la búsqueda de un centro o como un símbolo del inconsciente.
El laberinto ha sido un tema literario para Borges, por ejemplo y, convenientemente estilizado, ha aparecido en el cine, especialmente en el policiaco y en el de ciencia-ficción.

Los mundos virtuales son laberintos formales y no materiales. El laberinto se opone al camino recto, expedito y obvio, pues es engaño y disimulo en sus itinerarios. Y el ciberespacio, bajo su apariencia de imagen-escena envolvente. esconde un laberinto que propone al cuerpo del operador con cada movimiento nuevas experiencias espaciales.

Pues cada iniciativa de operador no es mas que la exploración de una rama en un sistema informático arborescente, con diversas ramificaciones derivadas, como ocurre en la exploración del hipertexto. Pero el hipertexto, con su abanico de opciones arborescentes ante el operador, no hacía más que traducir, en lenguaje informático y con fines enciclopedistas, los caminos diversificados de un laberinto intelectual. La Realidad Virtual ha trasladado esta estructura informática laberíntica al campo de la sensorialidad y de la aventura topográfica.

Photos: G. M.

geodésicas

2009-06-24T15:29:00.000-07:00

En geometría, una geodésica se define como la línea de mínima longitud que une dos puntos en una superficie dada, y está contenida en esta superficie. Las geodésicas de una superficie son las líneas "más rectas" posibles (con menor curvatura) fijado un punto y una dirección dada sobre dicha superficie.

Más generalmente, se puede hablar de geodésicas en "espacios curvados" de dimensión superior llamados variedades riemannianas en donde, si el espacio contiene una métrica natural, entonces las geodésicas son (localmente) la ruta más corta entre dos puntos en el espacio. Un ejemplo físico, de variedad semiriemanniana es el que aparece en la teoría de la relatividad general las partículas materiales se mueven a lo largo de geodésicas temporales del espacio-tiempo curvado por efectos gravitatorios.

Ejemplos mas cercanos de geodésicas los podemos observar en la Tierra. Si la Tierra fuera una esfera, cualquier círculo máximo (línea ecuatorial, meridianos) sería una geodésica, es decir, para ir de un punto a otro, el trayecto mas corto transcurriría por una de estás líneas.

El término "geodésico" proviene de la palabra geodesia, la ciencia de medir el tamaño y forma del planeta Tierra; en el sentido original, fue la ruta más corta entre dos puntos sobre la superficie de la Tierra.

Fuente: Wikipedia

"La geometría de Tlön comprende dos disciplinas algo distintas: la visual y la táctil. La última corresponde a la nuestra y la subordinan a la primera. La base de la geometría visual es la superficie, no el punto. Esta geometría desconoce las paralelas y declara que el hombre que se desplaza modifica las formas que lo circundan."

Tlön, Uqbar, Orbis Tertius
Jorge Luis Borges
Photos: G. M.

Decoherencia

2009-06-07T14:07:00.000-07:00

Más allá de las partículas, de los campos de fuerza,
de la geometría, del espacio y del tiempo,
hay un último elemento constitutivo de todo ello,
un acto aún más sutil:
el del observador que participa.

Wheeler/Zurek

Fue el físico cuántico John Wheeler quien dijo que "son necesarios los observadores para dar existencia al mundo" porque vivimos en un "universo de participación".

El mundo cuántico describe objetos que se encuentran simultáneamente en varios lugares a la vez. Para describir estos objetos, la física recurre a la superposición de estados cuánticos: es una manera de decir que las partículas elementales existen en varios estados superpuestos al mismo tiempo.

La duda surge a la hora de explicar el proceso que reduce esos estados superpuestos al estado concreto que nuestros sentidos perciben en el universo cotidiano. Porque es evidente que en el universo macrofísico los objetos se nos presentan en un estado concreto y no superpuesto.

Para W.H. Zurek y Dieter Zeh, entre otros autores, los así llamados modelos de decoherencia permiten explicar la ausencia de superposiciones en los estados macroscópicos de la materia, sin necesidad de una intervención determinante del observador.

Para cada observación hay que hablar de tres subsistemas implicados: el objeto (un átomo, una mesa, un gato), el aparato de medida (que permite localizar el objeto) y el entorno (o escenario) donde se desenvuelve el proceso.

La interacción de los sistemas macroscópicos con su entorno es lo que diluye la superposición de estados cuánticos, según los modelos de decoherencia. Es decir, si un pequeño sistema como es un átomo, puede ser aislado de su entorno para ser estudiado, en el mundo macroscópico ese aislamiento no es posible porque un gato (por seguir el ejemplo del experimento de Schrödinger) está demasiado adherido a su universo a través de unos intensos mecanismos de fricción, lo que impide observarlo sin su entorno inmediato.

Estas interacciones del gato con su universo inmediato son las que anulan los estados de superposición de los espacios cuánticos y dejan fuera al papel del observador que describía Wheeler como creador de realidad.

Sobre el cielo cuántico flota
como una nube inconsistente
la sonrisa del gato Cheshire
después de desaparecer la nada
durante un tiempo indeterminado
en el vacío de las maravillas.

Fuente: Entrevistas 21
Poema: Malena Ezcurra
Photo: G. M.

puertas

2009-05-31T19:45:00.000-07:00

Photos: G. M.

Si las puertas de la percepción fueran abiertas
el hombre percibiría todas las cosas tal como son,
infinitas.

William Blake

Bach vs. Cage

2009-03-27T15:42:00.000-07:00

Consideremos la diferencia existente entre el envío al espacio de un disco con música de Bach, y el envío de uno con música de Cage. Pensemos ahora en la significación de una pieza de Cage; para nosotros, dicha significación se desprende de la ubicación de la música de este autor en el interior de un amplio contexto cultural, y entonces la vemos como un alzamiento frente a cierta clase de tradiciones. Luego, si deseamos transmitir esta significación, tenemos que enviar al espacio no solamente las notas de la pieza, sino hacerlas preceder por una detallada historia de la cultura occidental. Es razonable sostener, entonces, que un disco con música de John Cage, por sí solo, no tiene significación intrínseca.

Cage

Aun así, un oyente lo bastante conocedor de las culturas occidental y oriental, y sobre todo de las corrientes producidas durante las últimas décadas dentro de la música occidental, extraería significación de ese disco; pero tal oyente equivale a una rockola, y la pieza grabada a un par de botones; la significación ya está contenida en el interior del oyente, desde el principio; la música es nada más que un disparador de la significación. Y esta "rockola", a diferencia de la inteligencia pura, no es en absoluto universal; está apegada de modo directo a lo terrícola, depende de series peculiares de acontecimientos sucedidos en nuestro planeta a lo largo de prolongados períodos. Esperar que la música de John Cage sea comprendida por otra civilización, es como esperar que nuestra canción preferida esté incluida en una rockola de la luna, y que la podamos escuchar oprimiendo los mismos botones que si estuviéramos en un bar de Buenos Aires.

En cambio, para apreciar Bach se requiere menor documentación cultural. Esto puede sonar muy paradójico, habiendo en Bach tanta complejidad y sistematización, y tan poca intelectualidad en Cage. Pero se registra aquí una curiosa inversión. La inteligencia ama los modelos, y se rebela ante lo azaroso. Para la mayoría de las personas, lo azaroso de la música de Cage obliga a demasiadas explicaciones; e inclusive, luego de haberlas recibido, sospechan que no han captado el mensaje. En tanto, respecto a casi todo Bach las palabras son superfluas. Desde este punto de vista, la música de Bach es más autocontenida que la de Cage. Así y todo, no sabemos en qué medida la condición humana es manifestada por Bach.

Bach

Para ilustrar lo anterior, recordemos que la música tiene tres principales dimensiones estructurales (melodía, armonía, ritmo), cada una de las cuales, a su vez, puede volver a subdividirse en distintas escalas y cubriendo todos los aspectos. En cada una de estas dimensiones existe cierto grado de complejidad que nuestro entendimiento es capaz de manipular sin vacilaciones; por supuesto, un compositor los toma en consideración, más bien inconscientemente, cuando elabora una pieza. Estos "niveles de mediana complejidad" que atraviesan las diferentes dimensiones dependen mucho, es lo más probable, de las condiciones propias de nuestra evolución como especie: otras especies inteligentes pueden haber desarrollado su música dotándola de niveles totalmente diferentes de complejidad manipulable, presentes a lo largo de estas numerosas dimensiones. Así, es concebible que una obra de Bach tenga que ser acompañada por un cúmulo de información acerca de la especie humana, información que, lisa y llanamente, no podría ser inferida a partir de la sola estructura musical.

De Gödell, Escher, Bach
Un Eterno y Grácil Bucle.
Douglas Hofstadter

Photos: G. M

Hiperespacio

2009-03-21T15:16:00.000-07:00

Pero en cuanto la puerta se abrió más, y el embrujo de la droga y el sueño me empujaron por ella, supe que todas las glorias y visiones habían terminado; porque en ese nuevo reino no había ni tierra ni mar, sino sólo el blanco vacío del espacio ilimitado y desierto. Así, más dichoso de lo que nunca había osado esperar, me disolví nuevamente en esa infinitud original de olvido cristalino de la que el demonio Vida me había sacado por una hora breve y desolada.

H. P. Lovecraft.

Ex oblivione

Photo: G. M.

En geometría un teseracto o hipercubo es una figura formada por dos cubos tridimensionales desplazados en un cuarto eje dimensional (llamemos al primero longitud, el segundo altura y el tercero profundidad). En un espacio tetradimensional, el teseracto es un cubo de cuatro dimensiones espaciales. Se compone de 8 celdas cúbicas, 24 caras cuadradas, 32 aristas y 16 vértices.

Este término fue acuñado por primera vez en 1888 por el matemático inglés Charles Howard Hinton en una obra llamada A New Era of Thought, especie de manual que buscaba entrenar la intuición hiperespacial mediante ejercicios de visualización con cubos de colores en torno a un hipercubo imaginario.

Un hipercubo se define como un cubo desfasado en el tiempo, es decir, cada instante de tiempo por el cual se movió pero todos ellos juntos. Por supuesto no podemos ver un hipercubo en la cuarta dimensión, ya que solo se verían los puntos que tocan nuestro universo, así que solo veríamos un cubo común.

No podemos ver un hipercubo porque estamos "encerrados" en tres dimensiones, por lo que solo podemos ver la proyección de lo que seria un hipercubo. Se parece a dos cubos anidados, con todos los vértices conectados por líneas. Pero en el teseracto real de cuatro dimensiones todas las líneas tendrían la misma longitud y todos los ángulos serían ángulos rectos.

Fuente: Wikipedia

De libros y hexágonos

2008-12-22T12:36:00.000-08:00

El universo (que otros llaman la Biblioteca) se compone de un número indefinido, y tal vez infinito, de galerías hexagonales, con vastos pozos de ventilación en el medio, cercado por barandas bajísimas.

Como todos los hombres de la Biblioteca, he viajado en mi juventud; he peregrinado en busca de un libro, acaso el catálogo de catálogos ; ahora que mis ojos casi no pueden descifrar lo que escribo, me preparo a morir a una pocas leguas del hexágono en que nací.

Básteme, por ahora, repetir el dictamen:
La Biblioteca es una esfera cuyo centro cabal es cualquier hexágono, cuya circunferencia es inaccesible.

No hay. en la basta Biblioteca, dos volúmenes iguales.

[...]

Afirman los impíos que el disparate es normal en la Bilblioteca y que lo razonable (y aun la humilde y pura coherencia) es casi milagrosa.

La Biblioteca es ilimitada y periódica. Si un eterno viajero la atravesara en cualquier dirección, comprobaría al cabo de los siglos que los mismos volúmenes se repiten en el mismo desorden (que, repetido, sería un orden: el Orden. Mi soledad se alegra con esa elegante esperanza.

Jorge Luis Borges,
Fragmentos de "La Biblioteca de Babel"
Ficciones

Photos: G. M.

error

2008-11-30T10:12:00.000-08:00

Una pelusa en el concepto de límite.
Una ecuación sin curva.
Las interrupciones de la luz
en los vagones del subte “A”.

Guillermo Lema, Subterráneas
Photo: G. M.

orden

2008-11-02T14:55:00.000-08:00

...................................................Es duro percatarse
...................................................de que hay otro orden
...................................................después del orden
...................................................de este mundo.

....................................................¿Qué orden es ése?

....................................................No lo conocemos

....................................................El orden y el número de las posibles
....................................................suposiciones
....................................................en ese entorno
....................................................es precisamente
....................................................¡el infinito!

....................................................¿Y el infinito, qué es?

....................................................No lo sabemos con exactitud.

.....................................................Es una palabra
.....................................................que nos sirve
.....................................................para señalar
.....................................................la apertura
.....................................................de nuestra conciencia
.....................................................a la posibilidad
.....................................................desmedida
.....................................................interminable y desmedida.

.....................................................¿Y la conciencia qué es?

.....................................................No lo sabemos con seguridad.

.....................................................Es la nada.

.....................................................Una nada
.....................................................que nos sirve
.....................................................para señalar cuando ignoramos algo,
.....................................................no sabemos
.....................................................relacionado a qué
.....................................................y entonces
.....................................................pronunciamos la palabra
.....................................................conciencia
.....................................................respecto de la conciencia
.....................................................pero hay muchas otras facetas.

.....................................................¿Entonces?

Antonin Artaud
Para terminar con el juicio de Dios

Photos: G. M.

Conjeturas

2008-09-18T18:12:00.001-07:00

No hay certidumbre allí donde no es posible aplicar ninguna de las ciencias matemáticas ni ninguna de las basadas en las matemáticas.

Leonardo da Vinci

El 7 de junio de 1742, Christian Goldbach le escribió una carta a Leonhard Euler (uno de los más grandes matemáticos de todos los tiempos), sugiriéndole que pensara una demostración para la siguiente afirmación porque él no lograba encontrarla:

Todo número par positivo, mayor que dos,
se puede escribir como la suma de dos números primos.

Un número primo es aquel que sólo es divisible por sí mismo y por uno. Por ejemplo, 2, 3, 5, 7 y 11 son números primos. Pero 6 y 15 no lo son. Seis no es primo porque es divisible por 2 y por 3, mientras que 15 no lo es porque es divisible por 3 y por 5. Además, el número uno no es considerado primo.

Si un matemático cree que una afirmación es cierta, pero esa veracidad no la puede probar, tiene la opción de presentarla como una conjetura.
Para la matemática, la expresión conjetura refiere a una afirmación que se supone cierta, pero que no fue probada ni refutada hasta la fecha.

La más famosa conjetura es la planteada por un matemático alemán que trabajaba en Rusia, Christian Goldbach (1690-1764). Para explicarla, volvamos a decir que un número primo es cualquiera mayor que 1 y sólo divisible por sí mismo y por 1. Existen infinitos números primos. Los primeros son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 y 23.

A Goldbach le parecía que cualquier número par mayor que 2 podía expresarse como la suma de dos primos (a veces de más de una manera). Así,

4 = 2+2; 6 = 3+3; 8 = 5+3; 10 = 5+5; 12 = 7+5; 14 = 7+7; 16 = 11+5;

18 = 13+5; 20 = 13+7; 22 = 11+ 11; 24 = 13+11; 26 = 13+13; 28 23+5;

30 = 23+7; 32 = 19+13; 34 = 17+17; 36 = 23+13; 38 = 19+19;

40 = 23+17; 42 = 23+19;

etcétera.

Ningún matemático ha hallado jamás número par alguno mayor que 2, que no pudiera expresarse mediante la suma de dos números primos. Los matemáticos están convencidos de que no existe tal número, y que la conjetura de Goldbach es cierta. Sin embargo, nadie ha sido capaz de probarla hasta la fecha.
Si bien toda conjetura puede resultar falsa, la opinión respetada de los expertos en teoría de números es que lo que pensó Goldbach debe ser cierto y sólo es una cuestión de tiempo hasta que aparezca alguien que logre demostrarlo.

(Del lat. coniectūra).

1. f. Juicio que se forma de las cosas o acaecimientos por indicios y observaciones.

2. f. Ecd. Lección no atestiguada en la tradición textual y que la edición crítica reconstruye de acuerdo con otros indicios.

Fuentes: Matemática Estás Ahí? de Adrián Paenza, DRAE
Photos: G. M.

Verdades indemostrables

2008-09-06T08:10:00.001-07:00

Sin cierta dosis de locura,
nadie puede creer firmemente estar en posesión de la verdad,
puesto que creer en la verdad
es precisamente locura.

Nietzsche

Kurt Gödel fue un lógico, matemático y filósofo austriaco-americano, reconocido como uno de los más importantes de todos los tiempos. Su trabajo ha tenido un inmenso impacto en el pensamiento científico y filosófico del siglo XX. Gödel, al igual que otros pensadores como Bertrand Russell, A. N. Whitehead y David Hilbert intentó emplear la lógica y la teoría de conjuntos para comprender los fundamentos de la matemática. Se le conoce mejor por sus dos teoremas de la incompletitud, publicados en 1931 a los 25 años de edad, un año después de finalizar su doctorado en la Universidad de Viena.

El más célebre de sus teoremas dice que para todo sistema axiomático recursivo auto-consistente lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales, existen proposiciones verdaderas que no pueden demostrarse a partir de los axiomas. Para demostrar este teorema desarrolló una técnica denominada ahora como numeración de Gödel, el cual codifica expresiones formales como números naturales.

En 1931 Gödel publicó sus célebres teoremas de la incompletitud en "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme" ("Sobre proposiciones formalmente indecidibles de Principia Mathematica y sistemas relacionados"). En dicho artículo postuló que para todo sistema axiomático computable que sea lo suficientemente poderoso como para describir la aritmética de los números naturales (por ejemplo los axiomas de Peano), se deduce que:

1-Si el sistema es consistente no puede ser completo. (A esto generalmente se le conoce como el teorema de incompletitud.)

2-La consistencia de los axiomas no puede demostrarse desde el interior del sistema.

Estos teoremas finalizaron con medio siglo de intentos académicos (comenzando con el trabajo de Frege y culminando en los Principia Mathematica y en el formalismo de Hilbert) por encontrar un conjunto de axiomas suficiente para toda la matemática.

La idea básica del teorema de la incompletitud es más bien simple. Esencialmente Gödel construyó una fórmula que asegura ser no-demostrable para cierto sistema formal. Si fuera demostrable sería falsa, lo cual contradice el hecho de que en un sistema consistente las proposiciones demostrables son siempre verdaderas. De modo que siempre habrá por lo menos una proposición verdadera pero no demostrable. Esto es, para todo conjunto de axiomas de la aritmética construible por el hombre existe una fórmula la cual se obtiene de la aritmética pero es indemostrable en ese sistema. Sin embargo, para precisar esto Gödel necesitaba resolver varias cuestiones técnicas, tales como proposiciones de codificación y el concepto mismo de demostrabilidad en la teoría de los números naturales. Esto último lo realizó mediante un proceso denominado numeración de Gödel.

Realizó importantes contribuciones a la teoría de la demostración, al esclarecer las conexiones entre la lógica clásica, la lógica intuicionista y la lógica modal. También demostró que la hipótesis del continuo no puede refutarse desde los axiomas aceptados de la teoría de conjuntos, si dichos axiomas son consistentes.

Nació el 28 de abril de 1906 en Brno, Austria-Hungría (ahora República Checa) y murió el 14 de enero de 1978 en Princeton, New Jersey.

verdad.

(Del lat. verĭtas, -ātis).

1. Conformidad de las cosas con el concepto que de ellas forma la mente.

2. Conformidad de lo que se dice con lo que se siente o se piensa.

3. Propiedad que tiene una cosa de mantenerse siempre la misma sin mutación alguna.

4. Juicio o proposición que no se puede negar racionalmente.

axioma.

(Del lat. axiōma, y este del gr. ἀξίωμα).

1. Proposición tan clara y evidente que se admite sin necesidad de demostración.

2. Mat. Cada uno de los principios fundamentales e indemostrables sobre los que se construye una teoría.

teorema.

(Del lat. theorēma, y este del gr. θεώρημα).

1. Proposición demostrable lógicamente partiendo de axiomas o de otros teoremas ya demostrados, mediante reglas de inferencia aceptadas.

Fuente: Wikipedia, DRAE
Imágenes: G. M.

realidad

2008-08-18T11:10:00.000-07:00

Somos hombres
y nuestra suerte es aprender
y ser arrojados a mundos nuevos,
inconcebibles.

Don Juan

Realidad (del latín realitas y éste de res, «cosas») significa, en el uso común «todo lo que existe». De un modo más preciso, el término incluye todo lo que es, sea o no perceptible, accesible o entendible por la ciencia, la filosofía o cualquier otro sistema de análisis.

fuego sagrado

2008-07-20T16:50:00.000-07:00

No dejaremos de explorar
Y al final de toda nuestra investigación
Habremos llegado a donde comenzamos
Y conoceremos el lugar por vez primera...
Cuando las lenguas de fuego se plieguen
Para formar un nudo de fuego
Y el fuego y la rosa sean sólo uno.

T. S. Elliot, Four Quartets

Photo: G. M.

uno

2008-06-15T13:55:00.000-07:00

No dudo que la majestad y belleza del mundo,
están latentes en cualquier minucia del mundo.

Walt Whitman

Photos: G. M.

Conciencia

2008-04-13T12:57:00.000-07:00

La Energía es lo Real
El universo es Energía
La Energía es la Conciencia

Shakta Vedanta

La mecánica cuántica postula una identidad de naturaleza entre el observador y el objeto observado. Según este concepto, nuestra conciencia altera la función ondulatoria, el comportamiento de lo observado, al modificar nuestra apreciación de las probabilidades de un sistema.

Existen dos modos de conocimiento básicos: un conocimiento simbólico, por mapas, dualista e inferencial, y otro conocimiento directo, no dual e íntimo. Los diferentes modos de conocer se corresponden con diferentes estados de Conciencia, y como nuestra identidad personal también se relaciona con los diferentes estados de Conciencia, desde donde actuamos, un cambio en el modo de conocer provoca un cambio en nuestro sentimiento de identidad básico.

Un conocimiento no-dual
revela al Universo tal cual es,
la Realidad absoluta,
en donde el sujeto es parte de lo Real.

Fuente: El Tao de la Música
Carlos Fregtman
Photos: G. M.

Axiomas

2008-03-19T18:10:00.000-07:00

1 - 1 es un número

2 - El sucesor inmediato de un número también es un número.

3 - 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.

4 - Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.

5 -Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad, pertenece a todos los números
(inducción matemática).

Los axiomas de Peano o postulados de Peano definen de manera exacta al conjunto de los números naturales. Fueron establecidos por el matemático italiano Giuseppe Peano (1858-1932) en 1889.
Aunque Richard Dedekind intentó fundamentar los números naturales, basándose en las ideas de la teoría de conjuntos que por aquél tiempo desarrollaba George Cantor, no fue sino Giuseppe Peano quien proporcionó una definición axiomática del conjunto de números naturales. Lo hizo mediante cinco axiomas, utilizando tres conceptos primitivos, cero, número (número natural o entero no negativo) y la relación binaria ser sucesor de (o siguiente )

Un axioma, en epistemología, es una "verdad evidente" que no requiere demostración, pues es admitida por todas las personas, y sobre la cual se construye el resto de conocimientos; aunque, no todos los epistemólogos están de acuerdo con esta definición "clásica".

En matemática, un axioma no es necesariamente una verdad evidente, sino una expresión lógica utilizada en una deducción para llegar a una conclusión. En matemática se distinguen dos tipos de axiomas: axiomas lógicos y axiomas no-lógicos.

La palabra axioma proviene del griego αξιωμα (axioma), que significa "lo que parece justo" o aquello que es considerado evidente y sin necesidad de demostración. La palabra viene del griego αξιοειν (axioein) que significa "valorar", que a su vez procede de αξιος (axios) que significa "valuable" o "digno". Entre los antiguos filósofos griegos, un axioma era aquello que parecía ser verdadero sin ninguna necesidad de prueba.

Photos: G. M.
Fuente.: Wikipedia

* Este es un antiguo post, que vuelvo a publicar, para ampliar ciertos conceptos, y principalmente, por puro gusto de volver a compartirlo.

Agradezco a mi amiga Ana por tan cálido gesto.
Un abrazo, extremeña.

Otras Tierras

2008-03-12T17:07:00.000-07:00

Photo: G. M.

Podemos ascender por encima de esta Tierra insípida, y contemplándola desde lo alto considerar si la Naturaleza ha volcado sobre esta pequeña mota de polvo todas sus galas y riquezas. De este modo, al igual que los viajeros que visitan otros países lejanos, estaremos más capacitados para juzgar lo que se ha hecho en casa, para poderlo estimar de modo real, y dar su justo valor a cada cosa. Cuando sepamos que hay una multitud de Tierras tan habitadas y adornadas como la nuestra, estaremos menos dispuestos a admirar lo que este nuestro mundo llama grandeza y desdeñaremos generosamente las banalidades en las que deposita su afecto la generalidad de los hombres.

Christiaan Huygens, Los mundos celestiales descubiertos, hacia 1690

intersticios

2008-02-29T15:18:00.000-08:00

En el momento en que se perciben dos cosas,
tomando conciencia del intervalo entre ellas,
hay que concentrarse en ese intervalo.
Si se eliminan simultaneamente las dos cosas,
entonces, en ese intervalo, resplandece la Realidad.

Vijñana Bhairava
estrofa 61

Azar

2008-02-17T09:49:00.000-08:00

El tema del azar no es sólo inquietante en el sentido cotidiano que le damos al significado de la palabra, sino que también lo es para la ciencia en sí.
Debemos coincidir que en una primera aproximación el azar para el científico es algo así como la capa de polvo de ignorancia de la que el hombre de ciencia se pretende desprender, o al menos reducir, a través de modelos científicos descritos con precisión por el estricto lenguaje de la ciencia que es la matemática. Esta idea es seguramente la que estaba en la base de las intenciones de los fundadores de la ciencia moderna, y que tal vez conoce su máximo esplendor durante el siglo XIX.

Esta visión del azar desde el punto de vista científico, lo coloca en la posición de antagonista del conocimiento que la ciencia pretende abordar. No en vano la intervención del azar en la naturaleza ha sido execrada como lo resume la antológica frase de Albert Einstein, “Dios no juega a los dados”, que refleja la clara posición de la que se hablaba en el párrafo anterior, acerca de que la naturaleza en sí evoluciona libre de azar, y que por lo tanto el progreso de nuestros modelos de la misma, nos llevaría finalmente a desprendernos de él.

Sin embargo, más allá de las convicciones de una de las figuras más prominentes del siglo XX, los más exitosos modelos científicos y aplicaciones tecnológicas no sólo incorporan en este siglo nociones de azar, sino que al hacerlo se obtienen resultados satisfactorios.
Tanto es así que la máxima recompensa al éxito científico, el Premio Nobel, es recibido por Einstein paradojalmente, por sus trabajos sobre el “Efecto fotoeléctrico”, trabajando con el modelo cuántico, el primer modelo que por excelencia acepta el azar en su seno.
Tal vez bien se ha dicho por ahí, que si bien “OK, God don’t gamble... but human does if prize deserves it, and Einstein was human... and don’t you think a Nobel is worth enough!”.
De alguna manera es una forma de resolver la paradoja, el que no juega a los dados es Dios, pero los humanos no podemos resistirnos al juego, más aún cuando este nos provee de resultados satisfactorios.
Y en parte era la explicación que los científicos deterministas como Einstein daban para justificar el éxito de esas teorías, que sostenían, sino erradas, al menos incompletas, por lo tanto substrato de la limitación humana, que una vez superada exorcizaría el azar, y nos llevaría a la virtud divina de no jugar.

El problema planteado entonces es: El azar es debido a un conocimiento erróneo y/o incompleto de las leyes que gobiernan el universo, o es una propiedad esencial, ontológica, del mismo?
Los últimos estudios al respecto parecen indicar que esta última es la condición mas probable, que de hecho armoniza perfectamente con las leyes de la mecánica cuántica (de carácter probabilístico) y el principio de indeterminación de Heisenberg.

La definición adecuada del azar es un problema difícil, así como también lo es un tratamiento adecuado de la aleatoriedad. Podemos encontrar varios conceptos relacionados, pero no todos son intercambiables ni todos implican aleatoriedad:

Azar como encuentro accidental. Esta situación se considera azar porque los procesos que coinciden son independientes, no hay relación causal entre ellos, aunque cada uno pueda ser por su parte estrictamente determinista. Un ejemplo sería un eclipse que coincide con la entrada de un cometa en el sistema solar. Este tipo de azar es compatible con el determinismo de un mundo mecanicista.
Azar como desorden o como complejidad. Si una serie de números no puede obtenerse por un algoritmo más corto que la serie misma se considera que ésta es aleatoria. Si las matemáticas son creación humana este sería un caso de azar epistemológico, pero si son independientes de la mente humana entonces se trataría de un azar ontológico.
Azar como dice C. Monti. Es el conjunto de datos o información que no pueden ser medidos/a o decodificados/a por ningún sistema humano existente. Es Ausencia de causa.
Azar como proceso espontáneo, como puede ser la desintegración de un núcleo radiactivo concreto. Este tipo de procesos, con otros encontrados en la mecánica cuántica, no parecen deberse a ninguna causa externa.
Azar como proceso que carece de finalidad.

Bibliografía:
Gambling. El azar en la ciencia. Roberto Miglietti.
Física cuántica para filósofos. Alberto Clemente de la Torre. ( FCE)
Wikipedia.
Montajes: G. Lema

Photos: G. M.

De Laberintos

2008-02-07T16:24:00.001-08:00

Cuentan los hombres dignos de fe (pero Alá sabe más) que en los primeros días hubo un rey de las islas de Babilonia que congregó a sus arquitectos y magos y les mando a construir un laberinto tan perplejo y sutil que los varones más prudentes no se aventuraban a entrar, y los que entraban se perdían. Esa obra era un escándalo, porque la confusión y la maravilla son operaciones propias de Dios y no de los hombres. Con el andar del tiempo vino a su corte un rey de los árabes, y el rey de Babilonia (para hacer burla de la simplicidad de su huésped) lo hizo penetrar en el laberinto, donde vagó afrentado y confundido hasta la declinación de la tarde. Entonces imploró socorro divino y dio con la puerta. Sus labios no profirieron queja ninguna, pero le dijo al rey de Babilonia que él en Arabia tenía otro laberinto y que, si Dios era servido, se lo daría a conocer algún día. Luego regresó a Arabia, juntó sus capitanes y sus alcaides y estragó los reinos de Babilonia con tan venturosa fortuna que derribo sus castillos, rompió sus gentes e hizo cautivo al mismo rey. Lo amarró encima de un camello veloz y lo llevó al desierto.

Photos: G. M.

Cabalgaron tres días, y le dijo: "Oh, rey del tiempo y substancia y cifra del siglo!, en Babilonia me quisiste perder en un laberinto de bronce con muchas escaleras, puertas y muros; ahora el Poderoso ha tenido a bien que te muestre el mío, donde no hay escaleras que subir, ni puertas que forzar, ni fatigosas galerías que recorrer, ni muros que veden el paso." Luego le desató las ligaduras y lo abandonó en la mitad del desierto, donde murió de hambre y de sed. La gloria sea con aquel que no muere.

Los dos reyes y los dos laberintos.
J. L. Borges

DRAE:

laberinto.

(Del lat. labyrinthus, y este del gr. λαβύρινθος).

1. m. Lugar formado artificiosamente por calles y encrucijadas, para confundir a quien se adentre en él, de modo que no pueda acertar con la salida.

2. m. Cosa confusa y enredada.

3. m. Composición poética hecha de manera que los versos puedan leerse al derecho y al revés y de otras maneras sin que dejen de formar cadencia y sentido.

4. m. Anat. Parte del oído interno.

Los invito a visitar Laberintos , Labyritn y Borges no conocía el Photoshop de Malena.

La existencia de Dios

2008-01-22T17:37:00.000-08:00

“Cierro los ojos y veo una bandada de pájaros.
La visión dura un segundo o acaso menos;
no sé cuántos pájaros vi.
¿Era definido o indefinido su número?
El problema involucra la existencia de Dios.

Si Dios existe, el número es definido,
porque Dios sabe cuántos pájaros vi.
Si Dios no existe, el número es indefinido,
porque nadie pudo llevar la cuenta.
En tal caso, vi menos de diez pájaros (digamos) y más de uno;
pero no vi nueve, ocho, siete, seis, cinco, cuatro, tres o dos pájaros.

Vi un número entre diez y uno,
que no es nueve, ocho, siete, seis, cinco, etcétera.
Ese número entero es inconcebible,
ergo, Dios existe.”

Argumentum Ornithologicum
J. L. Borges

Photos: G. M.

memoria

2008-01-13T15:20:00.000-08:00

Nosotros, de un vistazo, percibimos tres copas en una mesa;

Funes todos los vástagos y racimos y frutos que comprende una parra...

No sé cuantas estrellas veía en el cielo.

De "Funes, el memorioso"
J. L. Borges

Photos: G. M. _ Sky & Telescope

La edad del Universo

2008-01-01T11:28:00.000-08:00

"No hay imposibilidad lógica en la hipótesis que el mundo se creó hace cinco minutos, con una población que "recordaba" un pasado completamente irreal. No hay conexión necesariamente lógica entre eventos de épocas distintas; por lo tanto, nada de lo que sucede ahora o sucederá en el futuro puede refutar la hipótesis que el mundo comenzó hace cinco minutos atrás."

Bertrand Russell.
Analysis of Mind, 1921.

Universo es una palabra derivada del latín Universum, que a su vez proviene de unus (uno) y versus (vuelta).

En filosofía se designa Universo al mundo, o conjunto de todo lo que sucede. La ciencia modeliza el universo como un sistema cerrado que contiene energía y materia adscritas al espacio-tiempo y que se rige fundamentalmente por principios causales.

La teoría actualmente más aceptada de la formación del Universo es el modelo del Big Bang, que describe la expansión del espacio-tiempo a partir de una singularidad espaciotemporal. El Universo experimentó un rápido periodo de inflación cósmica que arrasó con todas las irregularidades iniciales. A partir de entonces el Universo se expandió y se convirtió en estable, más frío y menos denso. Las variaciones menores en la distribución de la masa dieron como resultado de la segregación fractal en porciones que se encuentran en el universo actual, como cúmulos de galaxias.

A partir de esta teoría, midiendo la velocidad de alejamiento de las galaxias entre sí, se ha llegado a determinar la edad del universo en aproximadamente 13.700 millones de años.

Fuente: Wikipedia
Photos: G. M.

Google

2007-12-23T16:30:00.000-08:00

Photo: G. M.

Cuando hablamos de infinito, hablamos de una cifra superior a cualquier número, por grande que sea.

El matemático norteamericano Edward Kasner pidió en una ocasión a su sobrino de nueve años que inventara un nombre para un número muy grande: diez elevado a la cien (10 exp 100), un uno seguido por cien ceros. El niño lo llamó un Google. Hé aquí el número:

10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000.

Como comparación, el número total de átomos de nuestro cuerpo es aproximadamente 10 elevado a la 28, (un uno seguido de 28 ceros) y el número total de partículas elementales - protones, electrones y neutrones - en el universo observable es de aproximadamente 10 elevado a la 80 (un uno seguido de 80 ceros).
Cada uno de nosotros puede hacer números muy grandes, y darles nombres extraños. Intentadlo. Tiene un cierto encanto, especialmente si la edad de uno resulta ser nueve años.

De "Cosmos"
Carl Sagan

Conjunto Mandelbrot

2007-12-16T18:01:00.000-08:00

Photo: G. M.

MANDELBROT, EL CIENTÍFICO, no puede conciliar el sueño. Se dice convencido: las nubes no son esferas, las montañas no son capirotes, los litorales no son circulares y los ladridos no son suaves. Luego lo escribe en un papel. Por lo tanto, concluye, la geometría fractal supera «en esencia y fondo» a la euclidiana. Con cuidado, destapa el cuerpo de su mujer, que duerme sin conciencia y a pierna suelta a su lado. Le sube el camisón y analiza con lupa y medidas exactas su «elemento íntimo». Es un plano complejo, repite. Y lo saborea con cuidado, procura que no despierte. Investiga con tacto y criterio, separa los pliegues y lo enfoca con la lámpara de la mesita de noche. Un número infinito de escalas, se dice. Y se asoma al abismo del gran enigma, intenta avanzar entre las fractales que se le representan. Cuando su mujer despierta, Mandelbrot ha desaparecido. Tan sólo sus instrumentos científicos a los pies de la cama. Y aunque ella se encuentra ciertamente pesada esa mañana, atribuye su hinchazón al frío y la humedad de esa maldita ciudad.

Conjunto Mandelbrot es propiedad de © Iván Humanes Bespín 2007.

Ganador del I Premio de Relato mínimo Diomedea

Una descripción del conjunto M

...la frontera del conjunto M es rizada, con infinitos detalles: puedes intruducirte en cualquiera de sus puntos y aumentarlo cuanto quieras, y siempre descubrirás algo nuevo e inesperado...¡Mire!

La imagen se amplió; se introdujeron por el ángulo formado entre el cardioide principal y su círculo tangente: Bradley se dijo que aquello era como ver abrirse una cremallera, salvo que los dientes de la cremallera tenían unas formas extraordinarias.

Al principio, parecían pequeños elefantes que agitaran minúsculas trompas. Luego, las trompas se convirtieron en tentáculos, a los tentáculos les salieron ojos y, mientras la imagen seguía dilatándose, los ojos se abrieron en negros remolinos de una profundidad infinita...

[...]

Pasaron a gran velocidad junto a los remolinos, sorteando misteriosas islas guardadas por arrecifes de coral. Flotillas de caballos marinos desfilaron en majestuosa procesión. En el centro de la pantalla apareció un punto que, a medida que iba creciendo, mostraba un aspecto extrañamente familiar...y segundos más tarde se revelaba como una replica del conjunto original.

Nota: para los despistados, diré que el conjunto M al que se refiere el texto es el conjunto de Mandelbrot.

Arthur C. Clarke, El espectro del Titanic, p.108 y ss.

Fuente: Epsilones, Bestiario

Debo agradecer a Ivan Humanes Bespín y a Sergi Bellver por su autorización a publicar el texto "Conjunto Mandelbrot", ganador del I Premio de Relato mínimo Diomedea.

música fractal

2007-11-25T14:57:00.000-08:00

Un fractal es un objeto geométrico cuya estructura básica se repite en diferentes escalas. El término fue propuesto por el matemático Benoît Mandelbrot en 1975. En muchos casos, los fractales pueden ser generados por un proceso recursivo o iterativo, capaz de producir estructuras auto-similares independientemente de la escala específica. Los fractales son estructuras geométricas que combinan irregularidad y estructura.

La música fractal intenta establecer los potenciales usos de la recursión, la iteración y la matemática compleja como una extensión de la composición musical. Los fractales proveen una inesperada conexión entre las artes musicales y muchos procesos naturales, ya que unen cualidades determinísticas y estocásticas para producir naturalmente un agradable y no-estético balance entre predecibilidad y novedad. La estructura del fractal autosemejante es análoga a la repetición y desarrollo de motivos musicales usados para crear unidad y coherencia en la música.

Cada vez son más los compositores que utilizan el caos o la geometría fractal como apoyo en sus composiciones. Es posible crear estructuras fractales en un ordenador por medio de algoritmos matemáticos, y luego aplicarlos a la composición musical.

Se han descubierto estructuras fractaliformes en la música de varios compositores, entre ellos Bach, Mozart, Beethoven.

La coral situada al final de " El Arte de la Fuga" (1749) de Johann Sebastian Bach es un ejemplo de pieza autosemejante. En ella los mismos motivos son repetidos una y otra vez con distintas variaciones dentro de una región mayor de la pieza. Así, por ejemplo, varias voces repiten al doble de velocidad la melodía de la voz principal (un motivo se repite por disminución a escalas menores).

Hay varios trabajos que analizan la manifestación de estructuras fractaliformes en composiciones clásicas: por ejemplo, en algunos se estudia la analogía entre la estructura del conjunto de Cantor y la primera Ecossaisen de Beethoven, así como entre el triángulo de Sierpinski y el tercer movimiento de la sonata para piano número 15, opus 28, también de Beethoven.

La geometría fractal y la teoría del caos han obligado a muchos científicos a observar con otros ojos la complejidad del mundo. Algunos músicos han aplicado esta nueva visión a sus composiciones para producir piezas que desencadenan en los oyentes reacciones de muy diversa índole: desde la fascinación a la incomprensión. La música fractal se mueve en la frontera entre la monotonía y la sorpresa, entre la aleatoriedad y la predicibilidad. Es una manifestación musical que cuenta con poco más de una década de vida.

Para ver y escuchar mas acerca de este tema, les recomiendo visitar: fRAKTÆPHONIA

Photos: G. M. & Photoshop

El hotel infinito

2007-11-19T18:52:00.000-08:00

Hotel Infinito es una metáfora inventada por el matemático alemán David Hilbert, para explicar las paradojas relacionadas con el infinito descubiertas por el también matemático Georg Cantor, de una manera sencilla.

Esta metáfora describe por medio de un hotel de habitaciones infinitas, cuatro paradojas de las encontradas por Georg Cantor. Numerosas personas han creado historias completas sobre la metáfora de David Hilbert.

El hotel más grande del mundo

Dos grandes hoteleros que querían construir el hotel más grande del mundo se reunieron a dialogar sobre el asunto y comenzaron por el primer y más obvio tema a discutir: cuántas habitaciones tendría.

"—¿Qué te parece si construimos un hotel con 1000 habitaciones?

—No, porque si alguien construyera uno de 2000 habitaciones, nuestro hotel ya no sería tan grande. Mejor hagámoslo de 10 000.

—Pero podría ser que alguien construyera uno de 20 000 y volveríamos a quedarnos con un hotel pequeño. Construyamos un hotel con 1 000 000 de habitaciones, ése sería un hotel grande.

—Y qué tal si alguien construyera uno con..."

Como siempre podría llegar a haber un hotel más grande, llegaron a la conclusión de que era necesario hacer un hotel con habitaciones infinitas de manera que ningún otro hotel del mundo pudiera superar su tamaño.

Infinito más uno

Sin embargo en un hotel de infinitas habitaciones no todo es color de rosa. Tan pronto se abrieron las puertas de este hotel la gente comenzó a abarrotarlo y pronto se encontraron con que el hotel de habitaciones infinitas se encontraba lleno de infinitos huéspedes. En este momento surgió la primera paradoja, así que se tomó como medida que los huéspedes siempre tendrían habitación asegurada pero con el acuerdo previo de que tendrían que cambiar de habitación cada vez que se les pidiera.

Fue entonces cuando llegó un hombre al hotel pero éste se encontraba lleno, por supuesto esto no preocupó al cliente pues en el Hotel Infinito se aseguraba que todos tendrían habitación, el hombre pidió su habitación y el recepcionista, consciente de que no habría ningún problema, tomó un micrófono por el que avisó a todos los huéspedes que por favor revisaran el número de su habitación, le sumaran uno y se cambiaran a ese número de habitación, de esta manera el nuevo huésped pudo dormir tranquilamente en la habitación número 1. Pero, ¿qué pasó entonces con el huésped que se encontraba en la última habitación? Sencillamente no hay última habitación....

Dos infinitos

Estando el hotel lleno de infinitos huéspedes, llegó un representante de una agencia de viajes con el corazón en la mano, su problema era que tenía una excursión de infinitos turistas que necesitarían hospedarse esa noche en el hotel. Se trataba por lo tanto de hacer sitio a infinitos huéspedes en un hotel con infinitas habitaciones, todas ellas ocupadas en aquellos momentos. Pero el recepcionista no tuvo ningún problema en aceptar a los nuevos turistas. Cogió el micrófono y pidió a todos los huéspedes que se mudaran a la habitación correspondiente al resultado de multiplicar por 2 el número de su habitación actual. De esa forma todos los huéspedes se mudaron a una habitación par, y todas las habitaciones impares quedaron libres. Como hay infinitos números impares, los infinitos turistas pudieron alojarse sin más problema.

Infinito número de infinitos

Estando el hotel lleno con infinitos huéspedes, llegó otro representante de la agencia de viajes aún más preocupado que el primero y avisó al primero el gran problema que había ocurrido, ahora la agencia tenía un infinito número de excursiones con un infinito número de turistas cada una. "¡Qué enorme problema se presenta ahora!", pensaban los representantes de la agencia de viajes, ¿cómo podrían hospedar a un número infinito de infinitos turistas?

El recepcionista permaneció inmutable, por lo cual tomó tranquilamente el micrófono y se comunicó solamente con las habitaciones cuyo número fuera primo o alguna potencia de éstos, les pidió que elevaran el número 2 al número de la habitación (n) en la que se encontraban (2n) y se cambiaran a esa habitación.

Entonces asignó a cada una de las excursiones un número primo (mayor de 2), a cada uno de los turistas de cada una de las excursiones un número impar, de manera que la habitación de cada uno de los turistas, se calculaba tomando el número primo de su excursión (p) y elevarlo al número que les tocó dentro de su excursión (t) lo que da pt.

Existiendo un número infinito de números primos y un número infinito de números impares, fácilmente se logró hospedar a un número infinito de infinitos huéspedes dentro de un hotel que sólo tiene un número infinito de habitaciones.

Biografía de G. Cantor

Fuente: Wikipedia
Photos: G. M.

de números

2007-11-14T17:12:00.000-08:00

Históricamente, la matemática surge con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la Tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma a la subdivisión amplia de la matemática en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.
El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros. Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos de resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio.
El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclidiana y luego la trigonometría.
La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las Ciencias Naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa del cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones se estudian en las ecuaciones diferenciales.
Los números que usaron para representar las cantidades continuas son los números reales, y el estudio detallado de sus propiedades se denomina análisis. Por razones matemáticas, es conveniente introducir los números del complejo que se estudian en el análisis complejo.
El concepto central que se usa para describir una variable cambiante es que de una función, y su estudio, se denomina análisis funcional. Un campo importante en matemática aplicada es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias. El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

Fuente: Wikipedia

Photos: G. M.

cielo e infierno

2007-11-07T17:34:00.000-08:00

Recuerdo nueve mundos

Edda islandés de Sturluson, 1200

Me he convertido en muerte, en el destructor de los mundos

Bhagavad Gita

Las puertas del cielo y del infierno son adyacentes e idénticas

N. Kazantzakis, La última tentación de Cristo

Photos: G. M.

La armonía de los mundos

2007-10-28T17:30:00.000-07:00

No nos preguntamos qué propósito útil hay en el canto de los pájaros, cantar es su deseo desde que fueron creados para cantar. Del mismo modo no debemos preguntarnos por qué la mente humana se preocupa por penetrar los secretos de los cielos...
La diversidad de los fenómenos de la Naturaleza es tan grande y los tesoros que encierran los cielos tan ricos, precisamente para que la mente del hombre nunca se encuentre carente de su alimento básico.

Johannes Kepler, Mysterium Cosmographicum
Photo: G. M.

universo

2007-10-21T09:21:00.000-07:00

Son eras sobre eras, y tiempos tras tiempos,

y no hay más que andar por la circunferencia

de un círculo que tiene la verdad

en el punto en que está el centro.

Todo es mucho más misterioso de lo que se juzga,

y todo esto - Dios, el universo y yo - es apenas

un rincon misterioso de la verdad inalcanzable.

Todo este universo, y todos los otros universos,

con sus diversos creadores y sus diversos Satanes,

mas o menos perfectos o diestros,

son vacíos dentro del vacío, nadas que giran,

satélites, en la órbita inútil de ninguna cosa.

Fernando Pessoa "La hora del diablo"

Photos: G. M.

del cielo

2007-10-15T19:56:00.001-07:00

Nebulosa difusa

Nebulosa anular

Amanecer en Mercurio

Cúmulo globular

Photos: G. M.

Entropía

2007-10-09T17:10:00.000-07:00

En general se la interpreta como la tendencia natural a la pérdida del orden en un sistema. Teniendo en cuenta que "orden" es una característica subjetiva, es decir, es una cierta disposición arbitraria asignada por un observador.

En termodinámica, la entropía (simbolizada como S) es la magnitud física que mide la parte de la energía que no puede utilizarse para producir trabajo. En un sentido más amplio se interpreta como la medida de la uniformidad de la energía de un sistema. Es una función de estado de carácter extensivo y su valor, en un sistema aislado, crece en el transcurso de un proceso que se dé de forma natural. La palabra entropía procede del griego (ἐντροπία) y significa evolución o transformación.

Cuando se plantea la pregunta: ¿por qué ocurren los sucesos de la manera que ocurren, y no al revés? se busca una respuesta que indique cuál es el sentido de los sucesos en la naturaleza. Por ejemplo, si se ponen en contacto dos trozos de metal con distinta temperatura, se anticipa que eventualmente el trozo caliente se enfriará, y el trozo frío se calentará, logrando al final una temperatura uniforme. Sin embargo, el proceso inverso, un trozo calentándose y el otro enfriándose es muy improbable a pesar de conservar la energía. El universo tiende a distribuir la energía uniformemente, es decir, maximizar la entropía.

Fuente: Wikipedia
Photos: G. M.

sobre números

2007-09-28T17:32:00.000-07:00

Sucesión

Se denomina sucesión a una función cuyo dominio es el conjunto de los números naturales.

Para denotar el n-ésimo elemento de la sucesión se escribe a_n en lugar de f(n).

Ejemplo:

a_n = 1/n

a₁ = 1, a₂ = 1/2, a₃ = 1/3, a₄ = 1/4, ...

Sucesión monótona creciente

Una sucesión es monótona creciente si se cumple que para todo n natural a_n <= a_n+1 (a₁ <= a₂₃ <= ... <= a_n). <= a

Ejemplo:

a_n= n es monótona creciente.

a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 3, a₄ = 4, ...

Caos

2007-09-25T18:29:00.000-07:00

estables

inestables

caóticos

Teoría del Caos es la denominación popular de la rama de las matemáticas y la física que trata ciertos tipos de comportamientos impredecibles de los sistemas dinámicos. Los sistemas dinámicos se pueden clasificar básicamente en:

estables
inestables
caóticos (Caos determinista)

Un sistema estable tiende, según transcurre el tiempo, a un punto u órbita, según su dimensión (atractor). Un sistema inestable se escapa de los atractores, y un sistema caótico manifiesta los dos comportamientos. Por un lado, existe un atractor por el cual el sistema se ve atraído, pero a la vez, hay "fuerzas" que lo alejan de éste. De esa manera, el sistema permanece confinado en una zona de su espacio de estados, pero sin tender a un atractor fijo.

Una de las mayores características de un sistema inestable es que tiene una gran independencia de las condiciones iniciales. De un sistema del que se conocen sus ecuaciones características, y con unas condiciones iniciales fijas, se puede conocer exactamente su evolución en el tiempo. Pero en el caso de los sistemas caóticos, una mínima diferencia en esas condiciones hace que el sistema evolucione de manera totalmente distinta. Ejemplos de tales sistemas incluyen la atmósfera terrestre, el Sistema Solar, las placas tectónicas, los fluidos en régimen turbulento y los crecimientos de población.

Fuente: Wikipedia
Photos: 1 Wik. & G. M.

cromática

2007-09-20T19:02:00.001-07:00

El elemento determinante para la aparición del color es la Luz. El propio ojo que la capta, es fruto de su acción a lo largo de la evolución de la especie. La visibilidad no es condición suficiente para la definición de la luz

El Color no tiene existencia material; es apenas una sensación producida en ciertas organizaciones nerviosas por la acción de la Luz sobre el órgano de la visión. Su aparición esta condicionada a la existencia de dos elementos: La Luz (objeto físico, actuando como estimulo) y el Ojo (aparato receptor, funcionando como descifrador del flujo luminoso, descomponiéndolo o alterándolo a través de la función selectora de la retina).

mecánica cuántica

2007-09-15T17:17:00.000-07:00

La mecánica cuántica, conocida también como mecánica ondulatoria y como física cuántica, es la rama de la física que explica el comportamiento de la materia a escala muy pequeña. (Estrictamente, su campo de aplicación pretende ser universal, pero es en "lo pequeño" donde sus predicciones divergen radicalmente de la llamada física clásica). El concepto de partícula "muy pequeña" atiende al tamaño en el cual comienzan a notarse efectos como la imposibilidad de conocer con exactitud, arbitraria y simultáneamente, la posición y el momento de una partícula (véase Principio de indeterminación de Heisenberg), entre otros. A tales efectos suele denominárseles "efectos cuánticos". Así, la mecánica cuántica es la que rige el movimiento de sistemas en los cuales los efectos cuánticos sean relevantes. Se ha documentado que tales efectos son importantes en materiales mesocópicos (unos 1000 átomos).

Las suposiciones más importantes de esta teoría son las siguientes:

La energía no se intercambia de forma continua, sino que en todo intercambio energético hay una cantidad mínima involucrada, es decir un cuanto (cuantización de la energía).
Al ser imposible fijar a la vez la posición y el momento de una partícula, se renuncia al concepto de trayectoria, vital en mecánica clásica. En vez de eso, el movimiento de una partícula queda regido por una función matemática que asigna, a cada punto del espacio y a cada instante, la probabilidad que la partícula descripta se halle en tal posición en ese instante (al menos, en la interpretación de la Mecánica cuántica más usual, la probabilística o interpretación de Copenhague). A partir de esa función, o función de onda, se extraen teóricamente todas las magnitudes del movimiento necesarias.

Aunque la estructura formal de la teoría está bien desarrollada, y sus resultados son coherentes con los experimentos, no sucede lo mismo con su interpretación, que sigue siendo objeto de controversias.

Fuente: Wikipedia
Photo: G. M.

conexiones

2007-09-14T06:19:00.000-07:00

Photos: G. M.

conexión.

(Del lat. connexĭo, -ōnis).

1. f. Enlace, unión, concatenación de una cosa con otra.
2. f. Acción y efecto de conectar.
3. f. Tecnol. Punto donde se realiza el enlace entre aparatos o sistemas.
4. f. pl. Amistades, mancomunidad de ideas o de intereses.

intersticios

2007-09-06T18:27:00.000-07:00

Photo: G. M.

"Nosotros  (la indivisa  divinidad que opera en nosotros)
hemos soñado el mundo.
Lo hemos soñado resistente, misterioso, visible,
ubicuo en el espacio y  firme  en el tiempo;
pero hemos consentido en su arquitectura
ténues y  eternos  intersticios  de sinrazón  
para saber que es falso."

Jorge Luís Borges,
"Discusión".

Autorreferencia II

2007-09-01T18:30:00.000-07:00

Apolo 11

2007-08-31T17:36:00.000-07:00

Apolo 11 es el nombre de la misión espacial que los Estados Unidos enviaron al espacio el 16 de julio de 1969; fue la primera misión tripulada en llegar a la superficie de la Luna. El Apolo 11 fue impulsado por un cohete Saturno V, desde la plataforma LC 39A; y lanzado a las 9:32 hora local del complejo de Cabo Kennedy, en Florida (Estados Unidos). Oficialmente se conoció a la misión como AS-506.

La tripulación del Apolo 11 estaba compuesta por el comandante Neil A. Armstrong, de 38 años y comandante de la misión; Edwin E. Aldrin Jr., de 39 años y piloto del LEM, apodado Buzz; y Michael Collins, de 38 años y piloto del módulo de mando.

La denominación de las naves, privilegio del comandante, fue Eagle para el módulo lunar y Columbia para el módulo de mando.

El comandante Neil Armstrong fue el primer ser humano que pisó la superficie de nuestro satélite el 20 de julio de 1969 al Sur de Mar de la Tranquilidad, (Mare Tranquilitatis). Este hito histórico se retransmitió a todo el planeta desde las instalaciones del Observatorio Parkes (Australia). Inicialmente el paseo lunar iba a ser retransmitido a partir de la señal que llegase a la estación de seguimiento de Goldstone (California, Estados Unidos), perteneciente a la Red del Espacio Profundo, pero ante la mala recepción de la señal se optó por utilizar la señal de la estación Honeysuckle Creek, cercana a Canberra (Australia). Ésta retransmitió los primeros minutos del paseo lunar, tras los cuales la señal del observatorio Parkes fue utilizada de nuevo durante el resto del paseo lunar. Las instalaciones del MDSCC en Robledo de Chavela (Madrid, España) también pertenecientes a la Red del Espacio Profundo, sirvieron de apoyo durante todo el viaje de ida y vuelta.

El 24 de julio, los tres astronautas amerizaron en aguas del Océano Pacífico poniendo fin a la misión.

Fuente: Wikipedia
Video: Emule & G. M.
Music: Brian Eno

Autorreferencia

2007-08-29T18:40:00.000-07:00

La traición de las imágenes (Esto no es una pipa) 1928/29. Los Angeles, County Museum.

Michel Foucault le dedicó a esta obra un interesante ensayo titulado Esto no es una pipa. Ensayo sobre Magritte, donde aprovecha para reforzar sus teorías sobre la débil ilusión que liga las palabras y las cosas. Otra versión aún más inquietante del mismo problema es la siguiente:

Los dos misterios, 1966. París, galería Isy-Branchot.

En este caso el problema es triple: la palabra "pipe" no es una pipa, la imagen de la pizarra tampoco es una pipa, pero resulta que tampoco lo es esa enorme "Idea platónica de pipa" que flota en el aire.

Magritte insiste en varias de sus obras en las dificultades que presenta el conocimiento o el arte entendido como representación. En su obra La condición humana, el cuadro se confunde el paisaje de modo que nuestra representación del paisaje es una reproducción fiel del mundo pero, al mismo tiempo y tristemente, el mundo no es nada diferente de nuestra representación.

René Magritte: La condición humana, 1935, Ginebra.

La autorreferencia es un fenómeno que ocurre en el lenguaje natural o formal consistente en una oración o fórmula referente en forma directa a sí misma, a través de algunas oraciones o fórmulas intermedias, o por medio de algunas codificaciones. En filosofía, también se refiere a la habilidad de un sujeto para hablar o referirse a sí mismo.

La autorreferencia es posible cuando existen dos niveles lógicos, un nivel y un meta-nivel. Es más comúnmente usada en matemáticas, filosofía, programación y lingüística. Las oraciones autorreferentes pueden conducir a paradojas.

Fuente: Wikipedia

esto no es una imagen

Photo: G. M.

Lugares

2007-08-24T22:08:00.000-07:00

Lemesos, Chipre

Buenos Aires, Argentina

Auckland, Nueva Zelanda

Mar Egeo

Photos: G. M.

Una paradoja temporal

2007-08-23T18:24:00.000-07:00

Tantos años huyendo y esperando y ahora el enemigo estaba en mi casa. Desde la ventana lo vi subir penosamente por el áspero camino del cerro. Se ayudaba con un bastón, con el torpe bastón que en sus viejas manos no podía ser un arma sino un báculo. Me costó percibir lo que esperaba: el débil golpe contra la puerta. Miré, no sin nostalgia, mis manuscritos, el borrador a medio concluir y el tratado de Artemidoro sobre los sueños, libro un tanto anómalo ahí, ya que no sé griego. Otro día perdido, pensé. Tuve que forcejear con la llave. Temí que forcejeará con la llave. Temí que el hombre se desplomara pero dió unos pasos inciertos, soltó el bastón, que no volví a ver, y cayó en mi cama, rendido. Mi ansiedad lo había imaginado muchas veces, pero sólo entonces noté que se parecía, de un modo casi fraternal, al último retrato de Lincoln. Serían las cuatro de la tarde.
Me incliné sobre él para que me oyera.
– Uno cree que los años pasan por uno ~~le dije~~ pero pasan también para los demás. Aquí nos encontramos al fin y lo que antes ocurrió no tiene sentido.
Mientras yo hablaba, se había desabrochado el sobretodo. La mano derecha estaba en el bolsillo del saco. Algo me señalaba y yo sentí que era un revólver.
Me dijo entonces con voz firme:
– Para entrar en su casa, he recurrido a la compasión. Lo tengo ahora a mi merced y no soy misericordioso.
Ensayé unas palabras. No soy un hombre fuerte y sólo las palabras podían salvarme. Atiné a decir:
– Es la verdad que hace tiempo maltraté a un niño, pero usted ya no es aquel niño ni yo aquel insensato. Además, la venganza no es menos vanidosa y ridícula que el perdón.
– Precisamente porque ya no soy aquel niño ~~me replicó~~ tengo que matarlo. No se trata de una venganza sino de un acto de justicia. Sus argumentos, Borges, son meras estratagemas de su terror para que no lo mate. Usted ya no puede hacer nada.
– Puedo hacer una cosa -le contesté.
– ¿Cuál? -me preguntó.
– Despertarme.
Y así lo hice.

"El episodio del enemigo" de J. L. Borges

trip

2007-08-18T21:56:00.000-07:00

2001: A Space Odyssey (2001: Odisea del espacio o 2001: Una odisea del espacio) es una de las películas más importantes y famosas del género de ciencia ficción y del cine en general. Se proyectó en 1968 en Estados Unidos. Fue producida y dirigida por Stanley Kubrick y la historia está basada en la novela del mismo nombre de Arthur C. Clarke, que a su vez fue el origen de la saga de novelas de las Odiseas Espaciales. Como dato curioso, la inspiración para la novela 2001: A Space Odyssey lo encontró Clarke en un cuento corto que había escrito, "El centinela".

A partir del nuevo tratamiento de la historia de El centinela en el que Kubrick y Clarke trabajaron codo con codo, se alumbró por un lado la novela de Clarke '2001 una odisea del espacio' donde se explicaban y aclaraban muchas de las claves de la película, y por otro la película de Kubrick del mismo nombre que es objeto de este artículo y que resulta mucho más críptica y abierta a interpretaciones que la novela.

Con respecto a su tiempo, sus efectos especiales fueron muy avanzados, y la película ganó un Oscar en dicho rubro. Ninguno de sus jóvenes protagonistas logró alcanzar la fama como actor. La banda sonora es muy interesante, con música de Richard Strauss (la introducción de Así hablaba Zaratustra), Johann Strauss hijo y György Ligeti que acompaña las imágenes del espacio.

Alex North compuso una gran obra musical para la película, pero Stanley Kubrick no la incluyó en ésta y, coincidiendo con el 25° aniversario de la película, salió a la luz de la mano de Jerry Goldsmith, convirtiéndose en una banda sonora de leyenda.

Fuente: Wikipedia

Regresión infinita

2007-08-16T04:13:00.000-07:00

Euclides II - Nociones comunes

2007-08-10T17:28:00.000-07:00

1 - Las cosas que son iguales a una misma cosa también son iguales unas a otras.

2 - Si una misma cosa se añade a cosas iguales, los totales son iguales.

3- Si una misma cosa se resta a cosas iguales, los restos son iguales.

4 - Las cosas que coinciden una con otra son todas iguales entre sí.

5 - El todo es mayor que las partes.

Möebius

2007-08-08T20:07:00.000-07:00

Un breve video describiendo la belleza de las Transformaciones de Möebius. La película muestra cómo trasladándonos a una dimensión de orden superior podemos comprender mas facilmente esta maravilla de la matemática.

La versión completa está disponible en http://www.ima.umn.edu/~arnold/moebius/

The Möebius Trip

Extract from Gilles Jobin's choreography The Moebius Strip (2001).
Music Franz Treichler (The Young Gods)
info: http://www.parano.org/

La banda de Möbius o cinta de Möbius (pronunciado /ˈmøbiʊs/) es una superficie con un solo lado y un solo componente de contorno. Tiene la propiedad matemática de ser un objeto no orientable. También es una superficie reglada. Fue co-descubierta en forma independiente por los matemáticos alemanes August Ferdinand Möbius y Johann Benedict Listing en 1858.

La banda de Möbius tiene una serie de propiedades curiosas.

Para construirla se parte de una cinta cerrada de dos componentes en la frontera (un cilindro), se hace un corte (entre las dos fronteras), se gira 180° uno de los extremos y se vuelve a pegar. La banda resultante tiene sólo un borde, lo que se puede comprobar siguiendo el borde con un dedo, por ejemplo, y notando que se alcanza el punto opuesto sin haber atravesado la superficie; así mismo, si se trata de pintar un lado de un color y el opuesto de otro, se llegará al momento en que los dos colores choquen. Si se parte con una díada (pareja) de ejes perpendiculares, y se desplaza paralelamente a lo largo de la cinta, se llegará al punto de partida con la orientación invertida. Este objeto se utiliza frecuentemente como ejemplo en topología.

Fuente: Wikipedia

coexistencia (error cuántico)

2007-08-05T19:22:00.000-07:00

Pierce y la inferencia abductiva

2007-08-05T18:22:00.000-07:00

La mejor manera de entender la inferencia abductiva puede ser compararla con la deducción y la inducción en relación con sus diferentes papeles en los procesos de descubrimiento científico:

" (...) no hay sino tres clases elementales de razonamiento. La primera, que yo llamo abducción (...) consiste en examinar una masa de hechos y en permitir que estos hechos sugieran una teoría. De este modo ganamos nuevas ideas; pero el razonamiento no tiene fuerza. La segunda clase de razonamiento es la deducción, o razonamiento necesario. Sólo es aplicable a un estado ideal de cosas, o a un estado de cosas en tanto que puede conformarse con un ideal. Simplemente da un nuevo aspecto a las premisas (...) El tercer modo de razonamiento es la inducción o investigación experimental. Su procedimiento es éste. Cuando la abducción sugiere una teoría, empleamos la deducción para deducir a partir de esa teoría ideal una promiscua variedad de consecuencias a tal efecto que si realizamos ciertos actos, nos encontraremos a nosotros mismos enfrentados con ciertas experiencias. Cuando procedemos a intentar esos experimentos, y si las predicciones de la teoría se verifican, tenemos una confianza proporcionada en que los experimentos que aún no se han intentado confirmarán la teoría. Yo afirmo que estos tres son los únicos modos elementales de razonamiento que hay" (CP 8.209, c.1905).

espacio ordenado

2007-08-05T16:28:00.000-07:00

Durante el siglo XVII, los mapas de los caminos, los mapas militares y los mapas de las costas se amontonaron en los arcones y cajones de Europa. En Praga, Tycho Brahe creaba un mapa de los cielos; en los países bajos Hieronymus Bosch completaba su pintura del Infierno, tan detallada que también incluía un mapa de especies, una guía de todos los monstruos pestilentes de Europa. Es en este mundo de dibujantes y cartógrafos donde entra René Descartes y, como cualquier otro, tiene un mapa entre sus manos, una representación del mundo. El mapa cartesiano no está escrito en un pergamino o en un papel, tampoco está grabado en metal. Era y sigue siendo un mapa mental, y estaba inscrito en el plano euclidiano. Solo se le puede ver con ese ojo que es capaz de ver puntos sin dimensión, líneas rectas sin anchura y triángulos que no se doblan, ni se hunden, ni se pliegan.

de "Ascenso infinito", David Berlinski
Photo: G. M.

axiomas II

2007-08-04T19:01:00.000-07:00

1 - 1 es un número

2 - El sucesor inmediato de un número también es un número.

3 - 1 no es el sucesor inmediato de ningún número.

4 - Dos números distintos no tienen el mismo sucesor inmediato.

5 -Toda propiedad perteneciente a 1 y al sucesor inmediato de todo número que también tenga esa propiedad, pertenece a todos los números
(inducción matemática).

Axiomas: Peano
Photos: G. M.

axiomas I

2007-08-03T19:04:00.001-07:00

1 - Por dos puntos, se puede trazar una recta que los une.

2 - Cualquier segmento puede ser prolongado de forma continua
en una recta ilimitada en la misma dirección.

3 - Se puede trazar una circunferencia que tenga su centro en cualquier punto y con cualquier radio.

4 - Todos los ángulos rectos son iguales.

5 - Si una recta, al cortar a otras dos, forma los ángulos internos de un mismo lado menores que dos rectos, esas dos rectas prolongadas indefinidamente se cortan del lado en el que están los ángulos menores que dos rectos (este axioma es conocido con el nombre de axioma de las paralelas y fue enunciado más tarde también de la siguiente manera: por un punto exterior a una recta se puede trazar una única paralela).

Axiomas: lΕυκλείδης
Photos: G. M.

número

2007-08-03T14:26:00.002-07:00

Desde Pitágoras hasta la teoría de conjuntos el saber occidental descansa sobre la elaboración del concepto de número.
Pero el número es, también, la matriz de los grandes mitos racionales del platonismo, de la Cábala y- de manera general- de la mayoría de las tradiciones esotéricas.
Pensar el número es volver a la raiz de las cosas, poseer el conocimiento de su principio y el control de sus efectos, como en la poesía o en la música.

"Y así fué cómo,
en virtud de la acción
de las Ideas y de los Números,
todos esos géneros
así constituidos
recibieron del Ordenador
sus figuras."

(Timeo)

Photo: G.M.

fractales

2007-08-02T17:57:00.001-07:00

lo bello en todas las escalas

el gato de Schrodinger

2007-08-02T17:30:00.000-07:00

Recreación de un experimento mental para intentar comprender el funcionamiento del universo a escala cuántica. Un mundo donde pierde sentido la tradicional idea de materialidad a favor del concepto de estructura probabilística del flujo de información.

y tu que sabes?

2007-08-01T16:23:00.000-07:00

El quinto documental más visto de la historia de Estados Unidos ya abrió la polémica. ¿Y tú qué @#!* sabes? es una ficción sobre la física cuántica que inaugura un nuevo género de las películas acerca de temas filosóficos. Con animación y efectos especiales, catorce expertos plantean que podemos diseñar la realidad a medida, desandar el pasado y envejecer más lentamente.
Interrogantes tan antiguos como el concepto de la realidad, el tiempo y la existencia vistos desde la óptica de la física cuántica.